Уравнение (неравенство) с параметрами (Rjgfuyuny (uyjgfyuvmfk) v hgjgbymjgbn)

Уравнение (неравенство) с параметрами — математическое уравнение (неравенство), внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает:

1. Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.
2. Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Уравнения с параметром могут быть как линейными, так и нелинейными.

Пример линейного уравнения с параметром:

$a\,x+1=4,$

Пример нелинейного уравнения с параметром:

${\mbox{log}}_{x^{2}}{\frac {a+3}{7-x}}=5,$

где $x$ — независимая переменная $a$ — параметр.

Аналогично подразделяются и неравенства. Ниже будут представлены примеры решений уравнений и неравенств с параметрами.

Примеры

Пример 1.При каком $a$ квадратное уравнение ${x^{2}}+3\,x-a=0$ имеет ровно один корень?

Решение. Любое квадратное уравнение имеет одно решение, когда его дискриминант равен нулю. Итак, дискриминант нашего уравнения: $D=9+4\,a$. Далее имеем: $9+4\,a=0$, откуда $a=-{\tfrac {9}{4}}$.

Ответ:$a=-{\frac {9}{4}}$.

Пример 2. При каком $a$ система уравнений :

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\end{cases}}$.

имеет ровно два решения?

Решение. Сначала надо преобразовать два уравнения системы, выделив в них полные квадраты: ${\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2ax-2y-8+a^{2}=0,\\x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}(x^{2}-2ax+a^{2})+(y^{2}-2y+1)=9,\\(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-2y+1)=4\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=9,\\(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4\end{cases}}$

Нетрудно догадаться, что эти два равенства системы есть не что иное, как уравнения окружностей. Первая окружность имеет центр в точке $(a;1)$, радиус $3$, а вторая центр в точке $(2;1)$ и радиус $2$. Если построить схематично эти окружности в одной системе координат, то можно заметить, что их общих точек пересечения будет две в том случае, если $a\in (-3;1)\cup (3;7)$. И задачу можно считать решённой.

Ответ:$a\in (-3;1)\cup (3;7)$.

Пример 3. При всех $a$ решить неравенство $ax^{2}+(a+1)x+1\geqslant 0$.

Решение. Рассмотрим три случая:

1. Если $a=0$, то неравенство приобретает вид $x+1\geqslant 0\Leftrightarrow x\in [-1;+\infty )$;
2. Если $a\geqslant 0$, то все коэффициенты квадратного трехчлена будут положительны, значит, решение неравенства можно представить в виде $x\in (-\infty ;x_{1}]\cup [x_{2};+\infty )$, где $x_{1}$,$x_{2}$ - корни многочлена и $x_{1}\leqslant x_{2}$. Далее находим: $x_{1}={\cfrac {-a-1-{\sqrt {a^{2}+2a+1-4a}}}{2a}}\Leftrightarrow x_{1}={\cfrac {-a-1-|a-1|}{2a}}={\begin{cases}-1,a\geqslant 1,\\-{\tfrac {1}{a}},0\leqslant a\leqslant 1\end{cases}}$

$x_{2}={\begin{cases}-{\tfrac {1}{a}},a\geqslant 1,\\-1,0\leqslant a\leqslant 1\end{cases}}$

Следовательно, $x\in (-\infty ;-1]\cup [-{\tfrac {1}{a}};+\infty )$, если $a\geqslant 1$ и $x\in (-\infty ;-{\tfrac {1}{a}}]\cup [-1;+\infty )$, если $0\leqslant a\leqslant 1$.

3. Если $a\leqslant 0$, то ветви параболы направлены вниз, естественно решение в общем виде будет выглядеть вот так: $x\in [x_{1};x_{2}]\Leftrightarrow x\in [-1;-{\tfrac {1}{a}}]$.

Нам остается лишь записать ответ.

Ответ: если $a=0$, то $x\in [-1;+\infty )$; если $a\geqslant 1$, то $x\in (-\infty ;-1]\cup [-{\tfrac {1}{a}};+\infty )$; если $0\leqslant a\leqslant 1$, то $x\in (-\infty ;-{\tfrac {1}{a}}]\cup [-1;+\infty )$; если $a\leqslant 0$, то $x\in [-1;-{\tfrac {1}{a}}]$.

См. также

• Диофантово уравнение