Уравнение Абеля (Rjgfuyuny GQylx)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение Абеля, названное в честь Нильса Хенрика Абеля — это тип функционального уравнения вида

или

.

Данные формы эквивалентны, когда α обратимо. h или α управляют итерацией f.

Эквивалентность

[править | править код]

Второе уравнение может быть записано как

Принимая x = α−1(y), уравнение можно записать как

Для известной функции f(x) задача состоит в решении функционального уравнение для функции α−1h, возможно, удовлетворяющей дополнительным требованиям, таким как α−1(0) = 1.

Замена переменных sα(x) = Ψ(x) для вещественного параметра s приводит уравнение Абеля к уравнению Шредера[англ.]*, Ψ(f(x)) = s Ψ(x).

Дальнейшая замена F(x) = exp(sα(x)) приводит к уравнению уравнению Бёттхера[англ.], F(f(x)) = F(x)s.

Уравнение Абеля является частным случаем уравнения переноса (и легко обобщается им)[1],

,

например, для ,

. (Обратите внимание, что ω(x,0) = x.)

Функция Абеля α(x) дополнительно обеспечивает каноническую координату для адвективных потоков Ли (однопараметрических групп Ли).

Изначально уравнение было получено в более общей форме[2][3]. Даже в случае одной переменной уравнение нетривиально и требует специального анализа[4][5][6].

В случае линейной передаточной функции решение выражается компактно[7].

Особые случаи

[править | править код]

Уравнение тетрации является частным случаем уравнения Абеля, когда f = exp.

В случае целочисленного аргумента уравнение кодирует рекуррентную процедуру, например,

,

и так далее,

Уравнение Абеля имеет хотя бы одно решение на тогда и только тогда, когда для всех и для всех , , где , функция f итерированная n раз[8].

Аналитические решения (координаты Фату) могут быть приближены асимптотическим разложением функции, заданной степенным рядом в секторах вокруг параболической неподвижной точки[9]. Аналитическое решение единственно с точностью до константы[10].

Примечания

[править | править код]
  1. Aczél, János, (1966): Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, reprinted by Dover Publications, ISBN 0486445232 .
  2. Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ..." Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1: 11—15.
  3. A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51—106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4. Архивировано 13 декабря 2019. Дата обращения: 30 марта 2023.
  4. Korkine, A (1882). «Sur un problème d’interpolation», Bull Sci Math & Astron 6(1) 228—242. online Архивная копия от 20 мая 2018 на Wayback Machine
  5. G. Belitskii (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 134 (2): 135—141. Архивировано (PDF) 22 октября 2020. Дата обращения: 30 марта 2023.
  6. Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel's functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1 (1): 95—102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.
  7. G. Belitskii (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations" (PDF). Studia Mathematica. 127: 81—89. Архивировано (PDF) 22 октября 2020. Дата обращения: 30 марта 2023.
  8. R. Tambs Lyche,Sur l'équation fonctionnelle d’Abel, University of Trondlyim, Norvege. Дата обращения: 30 марта 2023. Архивировано 30 марта 2023 года.
  9. Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine Ph.D. Thesis
  10. Classifications of parabolic germs and fractal properties of orbits by Maja Resman, University of Zagreb, Croatia. Дата обращения: 30 марта 2023. Архивировано 11 октября 2016 года.