Точка Микеля (Mkctg Bntylx)

Точка Микеля — одна из замечательных точек четырёхугольника.

Определение

Пусть четыре прямые расположены так (в общем положении), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля этой конфигурации прямых.

Замечание

Утверждение, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке, называется теоремой Микеля — Штейнера о четырёхстороннике^[1].

Свойства

Центры описанных окружностей указанных выше четырёх треугольников (синие точки на рисунке) лежат на одной (красной) окружности, проходящей через точку Микеля (зелёная на рис. выше).
Четырёхугольник $ABCD$ , образованный четырьмя данными прямыми $BE$ , $BF$ , $CE$ и $AF$ , вписан тогда и только тогда, когда точка Микеля лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника), то есть когда $M$ лежит на $EF$ .

История

Этот результат анонсирован Якобом Штейнером^[2]. Полное доказательство было дано Микелем^[1].

Доказательство

Теоремы о точке Микеля лежат на пересечении нескольких стандартных сюжетов школьной геометрии, и могут доказываться элементарными способами. Самое изящное, однако, доказательство использует теорему Кэли — Бахараха: для любых восьми точек на плоскости имеется девятая такая, что всякая кубическая кривая, проходящая через восемь из них, проходит и через девятую. В самом деле, рассмотрим на комплексной проективной плоскости девятую точку $M$ , связанную со следующей восьмеркой: четырьмя вершинами четырехугольника, двумя точками пересечения его противоположных сторон, и двумя бесконечно удаленными точками $(1:{\sqrt {-1}}:0)$ и $(1:-{\sqrt {-1}}:0)$ . Эти две последние суть точки пересечения всех окружностей (в чем несложно убедиться, переписав уравнение общей окружности $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$ как однородное и подставив $z=0$ , то есть отбросив члены низших порядков). Стало быть, вырожденные кубики, состоящие из одной из сторон четырехугольника и описанной окружности треугольника, образованного тремя другими сторонами, проходят через эту восьмерку — а потому и через $M$ . Ни на какой из сторон $M$ лежать не может — она была бы четвертой точкой пересечения кубики и прямой в противоречие с теоремой Безу, а потому она лежит на каждой из четырех описанных окружностей. Это и есть точка Микеля.

Одна из таких кубик замечательна тем, что на ней определено изогональное сопряжение относительно четырехугольника. Напомним, что точки $X,X'$ называются изогональными в угле $\angle ABC$ , если $\measuredangle ABX=\measuredangle X'BC$ . Легко видеть, что две точки изогональны в угле тогда и только тогда, когда являются фокусами некоторого кoнического сечения, вписанного в этот угол. В случае треугольника для всякой точки $X$ , не лежащей на его сторонах, существует единственная точка $X'$ , изогональная ей во всех трех углах (чтобы корректно продолжить изогональное сопряжение на всю плоскость, необходимо раздуть вершины треугольника). В случае четырехугольника найти изогонально сопряженную точку возможно не всегда: семейство конических сечений, вписанных в четырехугольник, однопараметрично, а потому фокусы их заметают всего лишь кривую. Эта кривая третьей степени, называемая изогональной кубикой, и она проходит через шесть вершин полного четырехсторонника (ведь его три диагонали, включая внешнюю — пределы вписанных эллипсов), а также через точки $(1:{\sqrt {-1}}:0)$ и $(1:-{\sqrt {-1}}:0)$ — мнимые фокусы всякой параболы, в том числе и вписанной в полный четырехсторонник. Значит, она проходит и через точку Микеля. Это не должно удивлять: точка Микеля является фокусом вписанной параболы.

Вариации и обобщения

Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)

Пусть дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$ . Продолжим все его пять сторон до тех пор, пока они не пересекутся в пяти точках $F$ , $G$ , $H$ , $I$ , $K$ (образовав пятиконечную звезду). Опишем пять окружностей около пяти треугольников $CFD$ , $DGE$ , $EHA$ , $AIB$ и $BKC$ . Тогда другие их точки взаимного пересечения (кроме $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ ), а именно новые точки: $M$ , $N$ , $P$ , $R$ и $Q$ лежат на одной окружности (принадлежат одной окружности)^[3] (см. рис.). Обратный результат известен как теорема о пяти кругах.

Теорема Микеля о шести окружностях

Пусть на окружности заданы четыре точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , и четыре окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в четырёх других точках $W$ , $X$ , $Y$ и $Z$ . Тогда последние четыре точки также лежат на общей окружности. Эта теорема известна как «теорема о шести окружностях»^[4] (см. рис.).

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем^[5].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»^[6].

Трёхмерный аналог теоремы Микеля

Есть также трёхмерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точки тетраэдра и точки на рёбрах тетраэдра, пересекаются в одной общей точке $M$ . Уэлс, упоминая Микеля, ссылается на эту теорему как на теорему Пиво́.^[7]

См. также

Точка Понселе
Теорема Микеля — другой результат Микеля
Прямая Обера

Примечания

↑ ¹ ² Ostermann, Wanner, 2012, p. 96.
↑ Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de math., 18: 302—304{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)
↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 94—97.
↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 94.
↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 352.
↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 151—152.
↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 184.

Литература

Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — 224 с. — (Выпуск 14 серии "Библиотека математического кружка"). — 148 000 экз.

Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson

Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3

Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0

Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005

[_197cf9cbab8e20f7-1] ¹ ² Ostermann, Wanner, 2012, p. 96.

[2] Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de math., 18: 302—304{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) (ссылка)

[3] A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 94—97.

[4] A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 94.

[5] A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012 (англ.). — Ostermann & Wanner, 2012. — P. 352.

[6] Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 151—152.

[7] Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (англ.). — New York: Penguin Books, 1991. — P. 184.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]