Точка Аполлония (Mkctg Ghkllkunx)

Не следует путать с Точки Аполлония.

Точка Аполлония $Ap$ — специальная точка в треугольнике. Определяется как точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания 3 вневписанных окружностей треугольника с описанной вокруг них окружностью. Связана с задачей Аполлония. В Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).

Пример применения точки Аполлония к решению задачи Аполлония

Задача Аполлония — построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. Один из вариантов этой задачи, когда третья окружность касается трёх внутренних внешним образом, решается с помощью введения точки Аполлония $Ap$.

• Точка Аполлония $Ap$ в Энциклопедии центров треугольника именуется как центр треугольника под именем X(181).
• В рамках этой задачи окружностью Аполлония (не путать с окружностями Аполлония) называется окружность, которая касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. зелёную окружность на рисунке).

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Точка Аполлония и окружность Аполлония

• Дан треугольник $ABC.$ Пусть вневписанные окружности треугольника $ABC,$ противоположные вершинам $A,$ $B$ и $C,$ есть соответственно $E_{A},$ $E_{B},$ $E_{C}$ (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония $E$ (на рис. справа показана зелёным цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника $ABC$ в точках соответственно $E_{A},$ $E_{B}$ и $E_{C}$ (см. рисунок).

• Решением упомянутой выше частной задачи Аполлония является указанная окружность $E,$ касающаяся трех данных окружностей $E_{A},$ $E_{B}$ и $E_{C}$ внешним образом.

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}},$ где $r$ — радиус вписанной окружности и $s$ — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония $Ap$

• Точка Аполлония $Ap$ или X(181) в энциклопедии центров треугольника, описанная в 1987-м году, определяется следующим образом:

Пусть $A',$ $B'$ и $C'$ есть точки касания окружности Аполлония $E$ с соответствующими вневписанными окружностями. Тогда прямые $AA',$ $BB'$ и $CC'$ пересекаются в одной точке $Ap,$ которую называют точкой Аполлония треугольника $ABC.$

• Ее трилинейные координаты:

${\frac {a(b+c)^{2}}{b+c-a}}:{\frac {b(c+a)^{2}}{c+a-b}}:{\frac {c(a+b)^{2}}{a+b-c}}=$

$=\sin ^{2}A\cos ^{2}({\frac {B}{2}}-{\frac {C}{2}}):\sin ^{2}B\cos ^{2}({\frac {C}{2}}-{\frac {A}{2}}):\sin ^{2}C\cos ^{2}({\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}).$

Замечание

На рисунке указанная точка Аполлония $Ap$ изображена, как точка пересечения трех перпендикуляров к сторонам треугольника $ABC,$ опущенных из точек касаний $A',$ $B'$ и $C'$ с соответствующими вневписанными окружностями треугольника $ABC,$ образованного совместными попарными касательными линиями трех упомянутых выше окружностей $E_{A},$ $E_{B}$ и $E_{C}.$ Хотя эта точка $Ap$ лежит в точке пересечения трех отрезков $AA',$ $BB'$ и $CC',$ но они не перпендикулярны сторонам треугольника. Действительно, её проекции на стороны треугольника $ABC$ являются вершинами равностороннего треугольника, а перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в его ортоцентре. Проекции ортоцентра на стороны треугольника не являются вершинами равностороннего треугольника. Ортоцентр и точка Аполлония $Ap$ совпадают только у равностороннего треугольника. У других треугольников они не совпадают.

Свойство

• Подерный треугольник точки Аполлония является равносторонним треугольником.

См. также

• Точки Аполлония