В квантовой механике ток вероятности (или поток вероятности) описывает изменение функции плотности вероятности.
Ток вероятности
определяется как
,
где
— волновая функция частицы массой
, звёздочка обозначает комплексное сопряжение,
— оператор набла,
— редуцированная постоянная Планка,
— мнимая единица,
(...) — «мнимая часть» выражения в скобках.
Размерность квантовомеханического тока вероятности в системе СИ, как следует из определения данной величины, — м-2c-1, что соответствует физическому смыслу. При этом подразумевается, что волновая функция имеет размерность м-3/2.
Вектор
удовлетворяет квантово-механическому уравнению непрерывности
![{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {j}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd6a6947e6f22af172b1d959d7e82152862628c)
с плотностью вероятности
, заданной как
.
Уравнение непрерывности эквивалентно интегральному уравнению
,
где
— объём,
— время и
— граница объёма
. Это закон сохранения для плотности вероятности в квантовой механике.
Интеграл в первом слагаемом последнего уравнения (без производной по времени) — вероятность нахождения частицы в пределах объёма
в момент измерения её положения. Второе слагаемое — скорость, с которой вероятность «вытекает» из объема
. В целом уравнение гласит, что производная по времени от вероятности нахождения частицы в объёме
равна скорости, с которой вероятность «втекает» в этот объём.
Ток вероятности, который можно сопоставить плоской волне
![{\displaystyle \Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3e9ead3cf24a21b2855a4087b98e8e0bce3be1)
(где
— радиус-вектор точки наблюдения,
— волновой вектор волны де Бройля,
— её частота,
— амплитуда), запишется в виде
![{\displaystyle {\vec {j}}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\nabla e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}-e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\nabla e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec {k}}}{m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b9b79797bca28a4a01b3edc79ffee11792e65cb)
Это произведение квадрата амплитуды волны на скорость частицы (
— импульс):
.
Несмотря на то, что плоские волны отвечают стационарным состояниям и, следовательно,
![{\displaystyle {\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/176a6ed58f1e2eef6c58ac9b28f97defb54f4cbf)
во всём пространстве, ток вероятности отличен от нуля. Это демонстрирует, что частица может двигаться даже если её пространственная плотность вероятности не имеет никакой явной зависимости от времени.
Под [одномерным] «ящиком» в квантовой механике понимается область (
,
— ширина области вдоль координаты
) постоянной потенциальной энергии, ограниченная бесконечными стенками. По двум другим координатам (
,
) движение считается свободным, то есть ширины (
,
) области по этим координатам очень велики. Для такой области волновые функции частицы запишутся в виде
![{\displaystyle \Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}{\sqrt {\frac {1}{L_{y}L_{z}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9de9425d89b9cd79eed3c576c4c4d5317581ecf3)
и ноль справа и слева от ямы (
или
). Тогда ток запишется в виде
,
поскольку
В этом разделе уравнение непрерывности выводится из определения тока вероятности и основных принципов квантовой механики.
Предположим что
— волновая функция для частицы, зависящая от трёх переменных
,
, и
). Тогда
![{\displaystyle P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa9ddf51e00e098f7338111bac6c30e3751a81c)
определяет вероятность измерить позицию частицы в объёме
. Производная по времени запишется в виде
,
где последнее равенство предполагает, что частную производную по времени можно внести под интеграл (форма объёма
не зависит от времени).
Для дальнейшего упрощения рассмотрим нестационарное уравнение Шрёдингера
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73691759b0aad6980e14c98a51160d8d609ff009)
и используем его для того, чтобы выделить производную по времени от
:
.
Подстановка в предыдущее уравнение для
даёт
.
Теперь после перехода к дивергенции имеем
![{\displaystyle \nabla \cdot \left(\Psi ^{*}\nabla \Psi -\Psi \nabla \Psi ^{*}\right)=\nabla \Psi ^{*}\cdot \nabla \Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\nabla \Psi \cdot \nabla \Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb2f73eec7bb7d16f50f6761a06b34123c3bab07)
и, поскольку первое и третье слагаемое сокращаются, приходим к
.
Теперь, используя выражение для
и замечая, что выражение, на которое действует оператор набла, есть
, запишем:
,
которое является интегральной формой уравнения непрерывности. Дифференциальная форма следует из того факта, что предыдущее уравнение выполнено для всех «объёмов»
, и интеграл можно опустить:
.