Тождество Похожаева (Mk';yvmfk Hk]k'gyfg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Тождество Похожаева — это интегральное соотношение, которому удовлетворяют стационарные локализованные решения нелинейного уравнения Шредингера или нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Оно было получено С.И. Похожаевым[1] и аналогично теореме о вириале. Это соотношение также известно как теорема Д.Г. Деррика. Аналогичные тождества могут быть получены и для других уравнений математической физики.

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Шредингера

[править | править код]

Приведём общую форму, предложенную А. Берестицким[англ.] и П.-Л. Лионсом[2].

Положим в качестве непрерывной вещественной функции, с . Определим . Пусть

будет решением уравнения

,

в терминах распределений. Тогда удовлетворяет соотношению

Тождество Похожаева для стационарного нелинейного уравнения Дирака

[править | править код]

Существует форма вириального тождества для стационарного нелинейного уравнения Дирака[англ.] в трёх пространственных измерениях (а также уравнения Максвелла-Дирака[3]) и в произвольном пространственном измерении[4]. Положим и пусть и будут самосопряжёнными матрицами Дирака размера :

Пусть будет безмассовым оператором Дирака. Положим в качестве непрерывной вещественной функции, с . Определим . Пусть будет спинорным решением, удовлетворяющим стационарной форме нелинейного уравнения Дирака,

в терминах распределений, с некоторой . Предположим, что

Тогда удовлетворяет

Примечания

[править | править код]
  1. Похожаев, С.И. О собственных функциях уравнения  // Докл. Акад. Наук СССР. — 1965. — Т. 165. — С. 36–39.
  2. Берестицкий, А. и Лионс, П.-Л. (1983). "Nonlinear scalar field equations, I. Existence of a ground state". Arch. Rational Mech. Anal. (англ.). 82 (4): 313—345. doi:10.1007/BF00250555.{{cite journal}}: Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) (ссылка)
  3. Эстебан М., Сере Э. Stationary states of the nonlinear Dirac equation: A variational approach (англ.) // Communications in Mathematical Physics. — 1995-08. — Vol. 171, iss. 2. — P. 323–350. — ISSN 1432-0916 0010-3616, 1432-0916. — doi:10.1007/BF02099273.
  4. Буссаид, Н. и Комич, А. Nonlinear Dirac equation. Spectral stability of solitary waves : [англ.]. — Американское математическое общество, 2019. — Vol. 244. — ISBN 978-1-4704-4395-5. — doi:10.1090/surv/244.