Теорема о произведении отрезков хорд (Mykjybg k hjkn[fy;yunn kmjy[tkf ]kj;)

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

${\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\=&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}$

$\triangle ASD\sim \triangle BSC$

Теорема о произведении отрезков хорд описывает соотношения отрезков, образованных двумя пересекающимися хордами окружности. В теореме утверждается, что произведения длин отрезков каждой из хорд равны.

Формулировка теоремы

Для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, выполняется следующее равенство:

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Обратное также верно, т. е. если для двух отрезков AC и BD, пересекающихся в точке S, вышеприведённое равенство выполняется, то их концы A, B, C и D лежат на одной окружности. Другими словами, если диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке S и выполняется вышеупомянутое равенство, то этот четырёхугольник является вписанным.

Степень точки

Значения двух произведений в теореме о хордах зависит от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением степени точки S. Более точно это можно выразить следующим образом:

$|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}$

где r является радиусом окружности, а d является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S. Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хордах к третьей хорде, проведённой через точку S и центр окружности M (см. рисунок).

Наряду с теоремой о секущей и касательной и теоремой о двух секущих, теорема о пересекающихся хордах является одним из трёх основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности — теоремы о степени точки.

Доказательство теоремы

Теорему можно доказать с помощью подобных треугольников (через теорему о вписанном угле). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC:

$\angle ADS=\angle BCS\,$ (углы, опирающиеся на хорду AB)

$\angle DAS=\angle CBS\,$ (углы, опирающиеся на хорду CD)

$\angle ASD=\angle BSC\,$ (вертикальные углы)

Это означает, что треугольники ASD и BSC подобны, а потому:

${\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|$

Вы можете посмотреть интерактивную иллюстрацию к теореме и её доказательству.

Литература

• Glaister P. Intersecting Chords Theorem: 30 Years on // Mathematics in School. — 2007. — vol. 36. — № 1. — P. 22.
• Shawyer B. Explorations in Geometry. — World scientific, 2010. — P. 14. — ISBN 9789813100947.
• Schupp H. Elementargeometrie. — Schöningh, Paderborn, 1977. — P. 149. — ISBN 3-506-99189-2.
• Schülerduden — Mathematik I. — Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2008. — S. 415—417. — ISBN 978-3-411-04208-1.