Теорема об изменении количества движения системы (Mykjybg kQ n[byuyunn tklncyvmfg ;fn'yunx vnvmybd)

Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики^[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел^[2]^[3].

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает^[2]^[3]:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции^[4].

Доказательство

Пусть система состоит из $N$ материальных точек с массами $m_{i}$ и ускорениями ${\vec {a}}_{i}$ . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\vec {F}}_{i}$ .
Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\vec {f}}_{i,k}$ , а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — ${\vec {f}}_{k,i}$ . Очевидно, что если $i=k$ , то ${\vec {f}}_{i,k}=0.$

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Учитывая, что $m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}$ , и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.

Выражение $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}$ представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\vec {f}}_{i,k}$ соответствует сила ${\vec {f}}_{k,i}$ такая, что ${\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}$ и, значит, выполняется ${\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.$ Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

\sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Используя для количества движения системы $\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ обозначение ${\vec {P}}$ , получим

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил $d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt$ , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

d{\vec {P}}=d{\vec {R}}.

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми $t_{1}$ и $t_{2}$ , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

{\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),

где ${\vec {P}}_{1}$ и ${\vec {P}}_{2}$ — значения количества движения системы в моменты времени $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно, а ${\vec {R}}(t_{2},t_{1})$ — импульс внешних сил за промежуток времени $t_{2}-t_{1}$ . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется

{\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{i}(t)dt.

Закон сохранения количества движения системы

Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется $d{\vec {P}}=0$ и ${\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0$ . Иначе говоря, справедливо соотношение

{\vec {P}}=const.

Таким образом, следует вывод:

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы^[2]^[3].

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.

Случай системы с идеальными стационарными связями

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает^[5]:

Если идеальные стационарные связи допускают в любой момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси $x$ , то производная по времени от проекции количества движения системы на ось $x$ равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.

«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом $^{a}$ в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».

Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на $\delta x$ параллельно неподвижной оси $x$ . Заменяя в общем уравнении динамики $\delta {\vec {r}}_{k}$ на ${\vec {i}}\delta x$ , получаем:

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}\delta x

или

{\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}

или

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}

окончательно находим:

{\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}

В предпоследнем уравнении в сумму активных сил ${\vec {F}}_{k}^{a}$ включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок $^{e}$ от англ. external) активные силы.

История

О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою»^[6]. Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался^[6].

См. также

Примечания

↑ Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616—617. — 707 с. — 100 000 экз.
↑ ¹ ² ³ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
↑ ¹ ² ³ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.
↑ Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
↑ ¹ ² Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
↑ ¹ ² Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.

[ФЭДинамика-1] Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616—617. — 707 с. — 100 000 экз.

[Тарг-2] ¹ ² ³ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.

[Маркеев-3] ¹ ² ³ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.

[4] Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260

[Бугаенко-5] ¹ ² Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5

[Начала-6] ¹ ² Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]