Теорема Рыль-Нардзевского о неподвижной точке (Mykjybg Jdl,-Ugj;[yfvtkik k uyhk;fn'ukw mkcty)

Теорема Рыль-Нардзевского о неподвижной точке гарантирует существование неподвижной точки для изометрического действия на произвольной группы на выпуклом компактном подмножестве банахова пространства.

Формулировка

Пусть $E$ есть нормированное векторное пространство и $K$ — непустое выпуклое подмножество в $E$ , которое компактно в слабой топологии. Тогда каждая группа (или, что эквивалентно: каждая полугруппа) аффинных изометрий $K$ имеет по крайней мере одну общую неподвижную точку.

История

Эта теорема была сформулирована Чеславом Рыль-Нардзевским^[англ.]^[1]. Позже Намиока и Асплунд ^[2] дали доказательство, основанное на другом подходе. Сам Рыль-Нардзевский дал полное доказательство следуя своей первоначальной идее.^[3]

Приложения

Теорема Рыль-Нардзевского влечёт существование меры Хаара на компактных группах.

Вариации и обобщения

Теорема Маркова — Какутани о неподвижной точке гарантирует существование неподвижной точки для коммутативного аффинного действия на произвольном выпуклом компактном подмножестве локально выпуклого топологического векторного пространства.

Примечания

↑ Ryll-Nardzewski, C. (1962). "Generalized random ergodic theorems and weakly almost periodic functions". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 10: 271—275.
↑ Namioka, I. (1967). "A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed point theorem". Bull. Amer. Math. Soc. 73 (3): 443—445. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11779-8.
↑ Ryll-Nardzewski, C. (1967). "On fixed points of semi-groups of endomorphisms of linear spaces". Proc. 5th Berkeley Symp. Probab. Math. Stat. 2: 1. Univ. California Press: 55—61.

Литература

Joel H. Shapiro. A fixed-point farrago (англ.). — Springer, 2016. — xiv+221 p. — (Universitext). — ISBN 978-3-319-27976-3; 978-3-319-27978-7.

Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.

A proof written by J. Lurie

[1] Ryll-Nardzewski, C. (1962). "Generalized random ergodic theorems and weakly almost periodic functions". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 10: 271—275.

[2] Namioka, I. (1967). "A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed point theorem". Bull. Amer. Math. Soc. 73 (3): 443—445. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11779-8.

[3] Ryll-Nardzewski, C. (1967). "On fixed points of semi-groups of endomorphisms of linear spaces". Proc. 5th Berkeley Symp. Probab. Math. Stat. 2: 1. Univ. California Press: 55—61.

[1]

[2]

[3]