конфигурация из пяти прямых с тремя треугольниками.
Теорема Робертса о треугольниках утверждает, что среди кусков, на которые прямых в общем положении разрезают плоскость, найдётся хотя бы треугольника.
Теорема знаменита простой формулировкой и большим числом ошибочных решений.
В частности, Робертс, именем которого названа теорема, дал ошибочное доказательство.
Эта задача была решена Шенноном только спустя 90 лет с момента постановки.
Пусть на плоскости даны прямых в общем положении, то есть никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.
Тогда среди многоугольных областей, на которые эти прямые разрезают плоскость, найдётся хотя бы треугольника.
Конфигурация из пяти прямых в которой добавление шестой не увеличивает число треугольников.
Стандартная ошибка заключается в попытке доказать, что при добавление одной прямой к конфигурации увеличивает число треугольников хотя бы на 1, и таким образом доказать теорему индукцией по . Легко доказать, что добавление одной прямой не уменьшает числа треугольников, однако оно не всегда добавляет 1 к их числу.
Идея Канеля-Белова состоит в следующем. Если число треугольников меньше , то по стандартному рассуждению линейной алгебры можно закрепить две прямые и двигать остальные параллельно так, что периметры всех треугольников остаются одинаковыми. При таком движении новых треугольников не образуется, и старые не могут «умереть». Используя такое движение, можно привести конфигурацию прямых к более простому случаю, в котором доказательство несложно.
Идея Фелснерa и Кригелa состоит в следующем. В каждом куске разбиения посадим по цветку на каждую сторону, при которой сумма смежных с ней углов . Заметим что на каждую сторону посажен ровно один цветок, отсюда число цветков равно . Далее в заметим, что в каждом треугольнике ровно три цветка, а в ограниченном многоугольнике, отличном от треугольника, не больше двух цветков. Индукцией по получаем, что число ограниченных многоугольников разбиения равно
.
Значит, если число треугольников обозначить за , получаем
Утверждение остаётся верным если в конфигурации прямых нет параллельных и не все прямые проходят через одну точку.
Аналогичная задача на проективной плоскости проще, прямых вырезают хотя бы треугольников. Эта оценка точная при . Доказательство было дано Фридрихом Леви в 1926 году, оно основано на том, что каждая прямая граничит хотя бы с тремя треугольниками.
Среди кусков -мерного евклидова пространства, на которые его разбивают гиперплоскостей в общем положении, найдётся хотя бы симплексов.
F. Levi. Die Teilung der projektiven Ebene durch Gerade oder Pseudogerade (нем.) // Ber. Math.-Phys. Kl. Sächs. Akad. Wiss. — 1926. — Bd. 78. — S. 256—267.
S. Roberts. On the figures formed by the intercepts of a system of straight lines in the plane and on analogous relations in space of three dimensions (англ.) // Proc. London Math. Soc.. — 1889. — Vol. 19. — P. 405–422.
R. W. Shannon. Simplicial cells in arrangements of hyperplanes (англ.) // Geom. Dedicata. — 1979. — Vol. 8. — P. 179–187.