Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами . Теорема утверждает, что если в треугольнике
A
B
C
{\displaystyle ABC}
D
{\displaystyle D}
E
{\displaystyle E}
F
{\displaystyle F}
B
C
{\displaystyle BC}
C
A
{\displaystyle CA}
A
B
{\displaystyle AB}
C
D
B
D
{\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}
=
x
{\displaystyle =x}
A
E
C
E
{\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}
=
y
{\displaystyle =y}
B
F
A
F
{\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}
=
z
{\displaystyle =z}
ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами
A
D
{\displaystyle AD}
B
E
{\displaystyle BE}
C
F
{\displaystyle CF}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
y
+
y
+
1
)
(
y
z
+
z
+
1
)
(
z
x
+
x
+
1
)
{\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}
Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае,
x
=
y
=
z
=
2
{\displaystyle x=y=z=2}
one-seventh area triangle
x
=
y
=
z
=
1
{\displaystyle x=y=z=1}
медианы пересекаются в центроиде .
Положим площадь треугольника
A
B
C
{\displaystyle ABC}
1
{\displaystyle 1}
A
B
D
{\displaystyle ABD}
F
R
C
{\displaystyle FRC}
теорему Менелая , получим:
A
F
F
B
×
B
C
C
D
×
D
R
R
A
=
1
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}
Тогда
D
R
R
A
=
B
F
F
A
×
D
C
C
B
=
z
x
x
+
1
{\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}
A
R
C
{\displaystyle ARC}
S
A
R
C
=
A
R
A
D
S
A
D
C
=
A
R
A
D
×
D
C
B
C
S
A
B
C
=
x
z
x
+
x
+
1
{\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}
Аналогично, получаем:
S
B
P
A
=
y
x
y
+
y
+
1
{\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}
S
C
Q
B
=
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}
P
Q
R
{\displaystyle PQR}
S
P
Q
R
=
S
A
B
C
−
S
A
R
C
−
S
B
P
A
−
S
C
Q
B
{\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}
=
1
−
x
z
x
+
x
+
1
−
y
x
y
+
y
+
1
−
z
y
z
+
z
+
1
{\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}
=
(
x
y
z
−
1
)
2
(
x
z
+
x
+
1
)
(
y
x
+
y
+
1
)
(
z
y
+
z
+
1
)
.
{\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}
Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project .Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .Routh’s Theorem by Cross Products - MathPagesAyoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.
