Теорема О’Нэна — Скотта (Mykjybg K’Uzug — Vtkmmg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема О'Нэна – Скотта — это одна из наиболее влиятельных теорем теории групп перестановок. Столь полезной эту теорему делает классификация простых конечных групп. В исходном виде теорема была о максимальных подгруппах[англ.] симметрической группы. Она появилась как дополнение к статье Леонарда Скотта, написанной для конференции в Санта-Круз по конечным группам в 1979 со сноской, что Майкл О'Нэн независимо доказал тот же результат.

Теорема утверждает, что максимальная подгруппа симметрической группы , где , является одной из следующих:

  1. стабилизатор k-множества (то есть интранзитивна)
  2. Sa wr[англ.]* Sb с n = ab, стабилизатор разбиения на b частей размера a (то есть импримитивна)
  3. примитивная (то есть не сохраняет нетривиальное разбиение) и одна из следующих типов:
  • AGL(d,p)
  • Sl wr Sk, стабилизатор структуры произведения
  • группа диагонального типа
  • почти простая группа

В статье «О теореме О'Нэна – Скотта для примитивных групп перестановок» М.У. Либек, Шерил Прегер и Ян Саксл дают полное замкнутое доказательство теоремы[1]. В дополнение к доказательству они выявили, что истинная сила теоремы О'Нэна – Скотта заключается в возможности разбить конечные примитивные группы на различные типы.

Типы О'Нэна – Скотта

[править | править код]

Восемь типов О'Нэна – Скотта конечных примитивных групп перестановок следующие:

HA (голоморф абелевой группы): Это примитивные группы, которые являются подгруппами конечной аффинной полной линейной группы AGL(d,p) для некоторого простого p и положительного целого . Для такой группы G, если она примитивна, она должна содержать подгруппу всех переносов, и стабилизатор G0 группы G нулевого вектора должен быть неприводимой подгруппой группы GL(d,p). Примитивные группы типа HA описываются наличием единственной минимальной нормальной подгруппы, которая является элементарно абелевой и действует регулярно.

HS (голоморф простой группы): Пусть T — конечная неабелева простая группа. Тогда действует на с помощью . Теперь M имеет две минимальные нормальные подгруппы , каждая из которых изоморфна T и каждая действует регулярно на , одна с помощью правого умножения, а другая с помощью левого умножения. Действие группы M является примитивным и если мы возьмём , мы получим , которая включает Inn(T) из . Фактически любой автоморфизм группы T будет действовать на . Примитивная группа типа HS является тогда любой группой G, такой, что . Все такие группы имеют N1 и N2 в качестве минимальных нормальных подгрупп.

HC (голоморф составной группы): Пусть T — неабелева простая группа и пусть для некоторого целого . Пусть . Тогда действует транзитивно на посредством для всех . Как и в случае HS, мы имеем и любой автоморфизм группы действует на . Примитивная группа типа HC является группой G, такой, что и G порождает подгруппу , которая действует транзитивно на множестве k простых прямых множителей . Любая такая G имеет две минимальные нормальные подгруппы, каждая изоморфна Tk и регулярна.

Группа типа HC сохраняет структуру произведения , где и , где H является примитивной группой типа HS на .

TW (скрещённое сплетение): Здесь G имеет единственную минимальную нормальную подгруппу N и для некоторой конечной неабелевой простой группы T и N действует регулярно на . Такие группы могут быть построены как скрещённое сплетение и потому обозначается буквами TW (от англ. twisted wreath). Условия, требующиеся для получения примитивности, подразумевают, что , так что наименьшая степень таких примитивных групп равна 606 .

AS (почти простая): Здесь G является группой, лежащей между T и Aut(T ), то есть G является почти простой группой, отсюда и обозначение (англ. almost simple). Мы ничего не говорим о действии, кроме того, что оно примитивное. Анализ этого типа требует знания о возможных примитивных действиях почти простых групп, что эквивалентно знанию максимальных подгрупп почти простых групп.

SD (простая диагональная): Пусть для некоторой неабелевой простой группы T и целое и пусть . Тогда N действует на множестве на правых классах смежности H в N по правому умножению. Мы можем взять как множество представителей классов смежности для H в N и мы можем отождествить с . Теперь переводит класс смежности с представителями в класс смежности . Группа Sk порождает автоморфизмы группы N путём перестановки элементов и оставляет неподвижной подгруппу H, а потому действует на множестве . Заметим также, что H действует на путём порождения Inn(T) и, фактически, любой автоморфизм группы T действует на путём отображения классом смежности с представителями в класс смежности . Тогда мы берём группу W = N. . Примитивная группа типа SD является группой , такой, что и G порождает примитивную подгруппу группы Sk на k простых прямых множителях N.

CD (составная диагональная): Здесь и , где H является примитивной группой типа SD на с минимальной нормальной подгруппой Tl. Более того, является минимальной нормальной подгруппой группы G и G порождает транзитивную подгруппу группы Sk.

PA (действие на произведения): Здесь и , где H является примитивной почти простой группой с цоколем T. Тогда G имеет действие на произведения на . Более того, и G порождает транзитивную подгруппу группы Sk в её действии на k простых прямых множителя N.

Некоторые авторы используют другое деление на типы. Наиболее часто типы HS и SD рассматриваются как «диагональный тип», а типы HC, CD и PA рассматриваются как «тип, действующий на произведения»[2]. Прегер позднее обобщила теорему О'Нэна – Скотта на квазипримитивные группы в статье «Теорема О'Нэна – Скотта для конечных квазипримитивных групп перестановок и приложения к 2-дуговым транзитивным графам»[3].

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Michael Giudici. The O’Nan–Scott Theorem. — 2009.
  • Cheryl E. Praeger. An O'Nan–Scott Theorem for Finite Quasiprimitive Permutation Groups and an Application to 2-Arc Transitive Graphs // Journal of the London Mathematical Society. — 1993. — Т. s2-47. — С. 227–239. — doi:10.1112/jlms/s2-47.2.227.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "O'Nan–Scott theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4