Теорема Лебега о мажорируемой сходимости (Mykjybg LyQyig k bg'kjnjrybkw v]k;nbkvmn)

Теорема Лебе́га о мажори́руемой сходимости — утверждение теории меры, согласно которому сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Точная формулировка: если фиксировано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ и $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ и $f$ — измеримые функции на $A\subseteq X$ , причём $f_{n}(x)\to f(x)$ почти всюду на $A$ , тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на $A$ функция $g$ такая, что любая функция $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ почти всюду, то функции $f_{n},f$ интегрируемы и:

\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{A}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)

.

Условие мажорированности последовательности $\{f_{n}\}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример: для $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)$ , где ${\mathcal {B}}$ — борелевская $\sigma$ -алгебра на $[0,\;1]$ , а $m$ — мера Лебега на том же пространстве и функции $f_{n}(x)$ , равной $n$ при ${\textstyle 0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}}$ или нулю в противном случае:

f_{n}(x)={\begin{cases}n,&0\leqslant x<{\dfrac {1}{n}}\\0,&{\dfrac {1}{n}}\leqslant x\leqslant 1\end{cases}}

,

последовательность $\{f_{n}\}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и:

\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx)

.

Теорема Фату — Лебега^[англ.] — цепь неравенств без условия сходимости почти всюду, обращающаяся утверждение теоремы Лебега при сходимости почти всюду.

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$ , теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: $X_{n}\to X$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$ , такая что $\forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ почти наверное. Тогда случайные величины $X_{n},\;X$ интегрируемы и