Теорема Дарбу (Mykjybg :gjQr)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Дарбу — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии , у любой точки в существует открытая окрестность и локальные координаты в ней, в которых симплектическая форма принимает канонический вид .

Формулировка

[править | править код]

Пусть  — симплектическая структура на . Тогда для любой точки всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами , в которых форма записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица принимает блочный вид

,

где и  — соответственно нулевая и единичная -матрицы. Совокупность координат называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из координат и  — канонически сопряжёнными друг другу.

Доказательство

[править | править код]

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть  — две симплектические формы на многообразии , принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм , таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать , где  — некоторая 1-форма. Пусть  — векторное поле такое, что (такое существует в силу невырожденности всех форм ).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле , определённое на многообразии с краем как , и единую 2-форму , ограничивающуюся на всякое подмногообразие как (мы неявно отождествляем с путём забывания временной координаты, и без того постоянной на ) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля . Заметим, что форма вообще говоря не замкнута как форма на : выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий , 3-форма определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана: . Следовательно, поток векторного поля сохраняет форму . В то же время, его поток переводит подмногообразия друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши , сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы в ограничение формы , то есть определяет диффеоморфизм , переводящий в .

В частности, когда многообразие двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книге[1].

Вариации и обобщения

[править | править код]

Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если  — симплектическое многообразие, и  — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что ), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к : касательный вектор отправляется в функционал , зануляющийся на и потому определённый на нормальном пространстве ; в силу невырожденности формы так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения , где  — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения , притом такого, что на оно постоянно, а симплектическую форму на переводит в симплектическую форму на . В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в , близкие к .

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры (то есть такого, что ), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом для оператора , при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для с собственным числом ), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в . Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и  — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение , где  — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на в голоморфно симплектическую форму на , то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к кривые в близкие к кривые, притом биголоморфные . Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A1, она же фактор , она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли ; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если — нормальное расслоение эллиптической кривой , лежащей на комплексной поверхности , то вдоль локально биголоморфна окрестности нулевого сечения в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики на группе Пикара функция имеет асимптотику (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы , которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:[2]

Пусть  — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы таким, что элемент умножает голоморфно симплектическую форму на число . Тогда существует открытая окрестность множества неподвижных точек этого действия и каноническое отображение такое, что гиперкэлерова метрика на индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на .

Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.

Примечания

[править | править код]
  1. Симплектическая геометрия. Методы и приложения., 1988, с. 84—867.
  2. ed.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Quaternionic structures in mathematics and physics (англ.). — World Scientific, 2001. — P. 199. — ISBN 981-02-4630-7.

Литература

[править | править код]