Теорема Брауэра о неподвижной точке (Mykjybg >jgrzjg k uyhk;fn'ukw mkcty)
Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.
История
[править | править код]Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая .
Формулировка
[править | править код]Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.
Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .
Доказательство
[править | править код]Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.
Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.
Вариации и обобщения
[править | править код]- Теорема Какутани о неподвижной точке
- Теорема Шаудера о неподвижной точке[англ.] является обобщением теоремы Брауэра на случай выпуклых компактов в банаховых пространствах.
- Теорема Шаудера — Тихонова является обобщением теоремы Шаудера на случай локально выпуклых топологических векторных пространств.
- Лемма Шпернера — комбинаторный аналог теоремы Брауэра.
- Теорема об инвариантности области — основанное на теореме утверждение что образ непрерывного инъективного отображения Евклидова пространства в себя открыт.
Следствия
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
- ↑ А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук, 1955. — Т. 10, № 3. — С. 188—192.
Литература
[править | править код]- Шашкин Ю. А. Неподвижные точки. — М.: Наука, 1989. — 80 с. — (Популярные лекции по математике). — 92 000 экз.
В другом языковом разделе есть более полная статья Théorème du point fixe de Brouwer (фр.). |
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |