Теорема Брауэра о неподвижной точке (Mykjybg >jgrzjg k uyhk;fn'ukw mkcty)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Георгиевичу Болю: в своей работе 1904 года[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применение этой теоремы к теории дифференциальных уравнений[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая .

Формулировка

[править | править код]

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .

Доказательство

[править | править код]

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Примечания

[править | править код]
  1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
  2. А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович. Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем // Успехи математических наук : журнал. — Российская академия наук, 1955. — Т. 10, № 3. — С. 188—192.

Литература

[править | править код]
  • Шашкин Ю. А. Неподвижные точки. — М.: Наука, 1989. — 80 с. — (Популярные лекции по математике). — 92 000 экз.