Соотношение Безу (Vkkmukoyuny >y[r)
Соотноше́ние Безу́ — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами[1].
Названо в честь французского математика Этьена Безу.
История
[править | править код]Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел[2]. Формулировка Баше следующая: «Даны два [взаимно] простых числа, найдите наименьшее кратное каждого из них, превышающее на единицу кратное другого»[3]. Для решения задачи Баше использовал алгоритм Евклида.
Этьен Безу в своём четырёхтомном «Курсе математики» (Cours de Mathematiques a l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, том 3, 1766) обобщил теорему, распространив её на произвольные пары чисел, а также на многочлены .
Формулировка
[править | править код]
Пусть , — целые числа, хотя бы одно из которых не ноль. Тогда существуют такие целые числа , что выполняется соотношение
|
Это утверждение называется соотношением Безу (для чисел и ), а также леммой Безу или тождеством Безу[4]. При этом целые числа называются коэффициентами Безу.
Существует также модификация соотношения Безу, ограниченная натуральными числами[5]:
Пусть , — натуральные числа. Тогда существуют такие натуральные числа , что выполняется соотношение
|
Примеры
[править | править код]- НОД Соотношение Безу имеет вид:
- Возможны и другие варианты разложения НОД, например:
Следствия
[править | править код]Если числа взаимно простые, то уравнение
имеет целочисленные решения[6]. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.
НОД является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел и с целыми коэффициентами[7].
Множество целочисленных линейных комбинаций совпадает с множеством кратных для НОД)[8].
Коэффициенты Безу
[править | править код]Поскольку случай, когда хотя бы одно из чисел равно нулю, тривиален, далее в этом разделе предполагается, что оба эти числа не равны нулю.
Неоднозначность
[править | править код]Нахождение коэффициентов Безу эквивалентно решению диофантового уравнения первого порядка с двумя неизвестными:
- где НОД
Или, что то же самое:
Отсюда следует, что коэффициенты Безу определены неоднозначно — если какие-то их значения известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой[9]
Ниже будет показано и .
, что существуют коэффициенты Безу, удовлетворяющие неравенствамВычисление коэффициентов с помощью алгоритма Евклида
[править | править код]Для нахождения коэффициентов Безу можно использовать расширенный алгоритм Евклида нахождения НОД и представить остатки в виде линейных комбинаций a и b[10]. Шаги алгоритма записываются в следующем виде:
- …
- Пример
Найдём соотношение Безу для Формулы алгоритма Евклида имеют вид
Таким образом, НОД. Из этих формул получаем:
В итоге соотношение Безу имеет вид
Вычисление коэффициентов с помощью непрерывных дробей
[править | править код]Альтернативный (по существу эквивалентный) способ решения уравнения использует непрерывные дроби. Разделим обе части уравнения на НОД: . Далее разложим в непрерывную дробь и подсчитаем подходящие дроби . Последняя (-я) из них будет равна и связана с предыдущей обычным соотношением:
Подставив в эту формулу и умножив обе части на , получаем
С точностью до знака, это соотношение Безу. поэтому предпоследняя подходящая дробь даёт модули решения: есть знаменатель этой дроби, а — числитель. Осталось, исходя из первоначального уравнения, найти знаки ; для этого достаточно найти последние цифры в произведениях [11].
Минимальные пары коэффициентов
[править | править код]Приведённый в предыдущем разделе алгоритм через непрерывные дроби, как и эквивалентный ему алгоритм Евклида, даёт в результате пару , удовлетворяющую неравенствам
Этот факт следует из того, что дроби и , как указано выше, образуют последовательные подходящие дроби, а числитель и знаменатель следующей подходящей дроби всегда больше, чем у предыдущей[11][12]. Для краткости можно назвать такую пару минимальной, таких пар всегда две.
Пример. Пусть . НОД(12, 42) = 6. Ниже приведены некоторые элементы списка пар коэффициентов Безу, причём минимальные пары выделены красным цветом:
Применение
[править | править код]Соотношение Безу часто используется как лемма в ходе доказательства других теорем (например, основной теоремы арифметики[13]), а также для решения диофантовых уравнений и сравнений по модулю.
Решение диофантовых уравнений первой степени
[править | править код]Рассмотрим решение в целых числах диофантовых уравнений вида
Обозначим НОД Очевидно, уравнение имеет целочисленные решения только в том случае, когда делится на . Будем считать это условие выполненным, и одним из приведённых выше алгоритмов найдём коэффициенты Безу :
Тогда решением исходного уравнения будет пара[11] , где .
Решение сравнений первой степени
[править | править код]Для решения сравнений первой степени
его достаточно преобразовать к виду[8]
Практически важным частным случаем является нахождение обратного элемента в кольце вычетов, то есть решение сравнения
Вариации и обобщения
[править | править код]Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел[1]:
Пусть , …, — целые числа, не все равные нулю. Тогда существуют такие целые числа , …, , что выполняется соотношение:
|
Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах (например, для гауссовых целых чисел). Такие кольца называются кольцами Безу.
Пример: формулировка для кольца многочленов (от одной переменной):
Пусть — какое-либо семейство многочленов, и не все они равны нулю. Обозначим их наибольший общий делитель. Тогда существует такое семейство многочленов , что выполняется соотношение: |
Коэффициенты Безу для двух многочленов от одной переменной могут быть вычислены аналогично изложенному выше для целых чисел (с помощью расширенного алгоритма Евклида)[14]. Общие корни двух многочленов являются корнями также и их наибольшего общего делителя, поэтому из соотношения Безу и основной теоремы алгебры вытекает следующий результат:
Пусть даны многочлены и с коэффициентами в некотором поле. Тогда многочлены и такие, что , существуют тогда и только тогда, когда и не имеют общих корней ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в качестве последнего берётся поле комплексных чисел). |
Обобщением этого результата на любое количество многочленов и неизвестных является Теорема Гильберта о нулях.
См. также
[править | править код]- Алгоритм Евклида
- Диофантово уравнение
- Наибольший общий делитель
- Решение сравнений
- Сравнение по модулю
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Хассе Г., 1953, с. 29.
- ↑ Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 75.
- ↑ Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac. Problèmes plaisants et délectables // Problemes plaisans, qui se font par nombres (фр.). — 2nd ed. — Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates, 1624. — С. 18—33. Архивировано 13 марта 2012 года.
- ↑ Jones, G. A., Jones, J. M. §1.2. Bezout's Identity // Elementary Number Theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. — P. 7—11.
- ↑ Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. — М.: Наука, 1965. — С. 28. — 176 с.
- ↑ Хассе Г., 1953, с. 33.
- ↑ Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов. — Наука, 1984. — С. 9. — 416 с.
- ↑ 1 2 Bezout's identity . Дата обращения: 25 декабря 2014. Архивировано 25 декабря 2014 года.
- ↑ Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — Наука, 1983. — С. 9—10. — 63 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 8).
- ↑ Егоров Д. Ф. Элементы теории чисел. — Москва—Петроград: Госиздат, 1923. — С. 14. — 202 с.
- ↑ 1 2 3 Сушкевич А. К. Теория чисел. Элементарный курс. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1954. — С. 49—51.
- ↑ Хинчин А. Я. Цепные дроби. — Изд. 3-е. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 11—12.
- ↑ См., например: Жиков В. В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 112—117. Архивировано 23 ноября 2018 года.
- ↑ Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М.: Научное изд-во ТВП, 2001. — С. 19. — 259 с. — ISBN 5-94057-103-4.
Литература
[править | править код]- Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
- Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — (Популярные лекции по математике).
- Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Изд. иностранной литературы, 1953. — 529 с.
Ссылки
[править | править код]- Онлайн-калькулятор коэффициентов соотношения Безу.
- Bezout’s Identity (англ.).
- Bezout’s identity, Euclidean algorithm (англ.).
Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии. |