Тангенциальный треугольник (Mguiyuengl,udw mjyrikl,unt)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Тангенциальный треугольник AtBtCt и ортотреугольник AhBhCh для треугольника ABC.

Тангенциальный треугольник (от лат. tangens — касательный) — конструкция, дающая новый треугольник по данному треугольнику.

Если вокруг данного треугольника описать окружность, то треугольник образованный тремя прямыми касательными к окружности проведёнными через вершины , и называется тангенциальным.

Координаты вершин

[править | править код]

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Вписанная в тангенциальный треугольник окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику .
  • И обратно: центр вписанной в тангенциальный треугольник окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника .
  • Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC
  • Для данного треугольника его тангенциальный треугольник и ортотреугольник подобны.
  • Площадь данного треугольника равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
  • Площадь тангенциального треугольника равна[1]:
где  — площадь треугольника ;  — его соответствующие стороны. Или[2]
  • Стороны тангенциального треугольника равны[2]
  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).

Замечательные точки

[править | править код]

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. Xn означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга[3].

Xn Центр тангенциального треугольника Xn Центр исходного треугольника
X2 центроид треугольника X154 X3 чева-сопряженная точка к X6
X3 центр описанной окружности X26 центр описанной окружности тангенциального треугольника
X4 ортоцентр X155 собственный центр ортотреугольника
X5 центр девяти точек X156 X5 тангенциального треугольника
X6 точка пересечения симедиан X157 X6 тангенциального треугольника
X30 бесконечная точка прямой Эйлера X1154 изогональное сопряжение точки X1141
X523 изогональное сопряжение точки X110 X1510 кросс-разность точек Наполеона

Примечания

[править | править код]
  1. Формулу можно вывести из предыдущего свойства и площади ортотреугольника
  2. 1 2 Weisstein, Eric W. Tangential Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Энциклопедия центров треугольника. Дата обращения: 18 августа 2015. Архивировано 19 апреля 2012 года.

Литература

[править | править код]
  • Зетель С. И. . Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38—39. — ISBN 5-94057-170-0.