Сходимость по Борелю (V]k;nbkvm, hk >kjylZ)

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

\lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S,

где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{n!}}t^{n}=S

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}.$ Данный ряд является расходящимся для произвольного $x\neq 0.$ Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

\sum _{0}^{\infty }n!x^{n}=\int _{0}^{\infty }dte^{-t}\sum _{n=0}^{\infty }(xt)^{n}=\int _{0}^{\infty }dt{\frac {e^{-t}}{1-xt}},

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку $P\in C$ проведём отрезок $OP$ и прямую $L_{p}\,,$ , которая проходит через точку Р перпендикулярно к $OP$ . Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых $L_{p}\,,$ обозначим $\Pi$ . Тогда граница $\Gamma$ области $\Pi$ называется многоугольником Бореля функции f(z), а область $\Pi$ её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}

является B-сходящимся в области $\Pi$ и не является B-сходящимся в области $\Pi ^{*}$ — дополнены до $\Pi$ .

См. также

Ссылки

Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Borel Summation

Литература

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .