Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса (Vrpyvmfkfguny n ilg;tkvm, jyoyunw rjgfuyunw Ugf,y — Vmktvg)

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

Основная статья: Уравнения Навье — Стокса

Для трёхмерного вектора скорости жидкости ${\vec {v}}({\vec {x}},\;t)$ и давления $p({\vec {x}},\;t)$ уравнения Навье — Стокса записываются так:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)$,

где $\nu >0$ — это кинематическая вязкость, $\rho$ — плотность, ${\vec {f}}({\vec {x}},\;t)$ — внешняя сила, $\nabla$ — оператор набла и $\Delta$ — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как $\nabla \cdot \nabla$ или $\nabla ^{2}$. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:

${\vec {v}}({\vec {x}},\;t)=(v_{1}({\vec {x}},\;t),\;v_{2}({\vec {x}},\;t),\;v_{3}({\vec {x}},\;t)),$

$\qquad {\vec {f}}({\vec {x}},\;t)=(f_{1}({\vec {x}},\;t),\;f_{2}({\vec {x}},\;t),\;f_{3}({\vec {x}},\;t)),$ то для каждого значения $i=1,\;2,\;3$ получается соответствующее скалярное уравнение:

${\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec {x}},\;t).$

Неизвестными величинами являются скорость ${\vec {v}}({\vec {x}},\;t)$ и давление $p({\vec {x}},\;t)$. Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

$\nabla \cdot {\vec {v}}=0.$

Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде:

${\vec {v}}({\vec {x}},0)={\vec {v^{0}}}({\vec {x}})$,

где ${\vec {v^{0}}}({\vec {x}})$ — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности $\nabla \cdot {\vec {v^{0}}}=0$.

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе $\mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}$ с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость ${\vec {v^{0}}}(x)$ — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса $\alpha$ и любого $K>0$ существует постоянная $C_{\alpha ,K}>0$ (зависящая только от $\alpha$ и $K$) такая, что

$\vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{K}}}\qquad$ для всех $\qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.$

Пусть внешняя сила ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$ — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

$\vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad$ для всех $\qquad ({\vec {x}},t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).$

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при $\vert {\vec {x}}\vert \to \infty$. Требуется выполнение следующих условий:

1. ${\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))\right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x}},t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))$
2. Существует постоянная $E\in (0,\infty )$ такая, что $\int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}},t)\vert ^{2}dx<E$ для всех $t\geq 0$.

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

• существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в $\mathbb {R} ^{3}$: для ${\vec {f}}({\vec {x}},t)\equiv 0$ и любого начального условия ${\vec {v_{0}}}({\vec {x}})$, удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости ${\vec {v}}({\vec {x}},t)$ и поле давления $p({\vec {x}},t)$, удовлетворяющее условиям 1 и 2;
• несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в $\mathbb {R} ^{3}$: существуют начальное условие ${\vec {v_{0}}}({\vec {x}})$ и внешняя сила ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$ такие, что не существует решений ${\vec {v}}({\vec {x}},t)$ и $p({\vec {x}},t)$, удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям. В 2014 году была найдена серьёзная ошибка в доказательстве, которую признал автор.

Литература

• P. G. Lemarie-Rieusset. The Navier-Stokes Problem in the 21st Century (англ.). — CRC Press, 2016. — P. 740. — ISBN 1466566213.
• Giovanni Galdi. An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations: Steady-State Problems (англ.). — Springer, 2011. — P. 1032. — ISBN 0387096191.

Ссылки

• Официальное описание задачи, данное Чарльзом Фефферманом (англ.)
• Проблемы 2000 года: уравнения Навье-Стокса // Компьютерра, 5 октября 2005 года.
• Современное состояние проблемы в личном блоге Теренса Тао