Мультииндекс (Brl,mnnu;ytv)

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса

n-мерный мультииндекс — это вектор

\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ и вектора $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ вводятся:

Покомпонентное сложение и вычитание

\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})

Частичная упорядоченность

\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}

Абсолютное значение как сумма компонентов

|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}

Факториал

\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!

Биномиальный коэффициент

{\alpha  \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}

Возведение в степень

x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}

Старшая частная производная

\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}

где

\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}

Некоторые приложения

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha  \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.

Разложение в ряд Тейлора

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.

Оператор дифференцирования

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.

Интегрирование по частям

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ имеем:

\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме

Если $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ — это мультииндексы и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ , то

\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}

Доказательство

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)

Положим $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ , $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ . Тогда

{\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}

Здесь каждое дифференцирование $\partial /\partial x_{i}$ сводится к соответствующей обыкновенной производной $d/dx_{i}$ , так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция $x_{i}^{\beta _{i}}$ зависит только от $x_{i}$ . Поэтому из уравнения (1) следует, что $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем