Структурные константы (Vmjrtmrjudy tkuvmgumd)
В математике структурные константы или структурные коэффициенты алгебры над полем используются для явного указания произведения двух базисных векторов в алгебре в качестве линейной комбинации. Учитывая структурные константы, результирующее произведение является билинейным и может быть однозначно расширено на все векторы в векторном пространстве, таким образом, однозначно определяя произведение для алгебры.
Структурные константы используются всякий раз, когда необходимо указать явную форму алгебры. Таким образом, они часто используются при обсуждении алгебры Ли в физике, поскольку базисные векторы указывают конкретные направления в физическом пространстве или соответствуют конкретным частицам. Напомним, что алгебры Ли — это алгебры над полем, причём билинейное произведение задаётся скобкой Ли или коммутатором.
Определение
[править | править код]Учитывая набор базисный векторов векторного пространства алгебры, структурные константы или структурные коэффициенты выражают умножение пар векторов в качестве линейной комбинации:
- .
Верхний и нижний индексы часто не различаются, если алгебра не наделена какой-либо другой структурой, которая потребовала бы этого (например, псевдориманова метрика на алгебре неопределённой ортогональной группы so(p,q)). То есть структурные константы часто записываются с верхними или нижними индексами. Различие между верхним и нижним является условием, напоминающим читателю, что нижние индексы ведут себя как компоненты двойственного вектора, то есть ковариантно при изменении базиса, а верхние индексы — контравариантно.
Очевидно, что структурные константы зависят от выбранного базиса. Для алгебр Ли одно часто используемое соглашение о базисе выражается в терминах лестничных операторов, определённых подалгеброй Картана; это представлено ниже в статье после некоторых предварительных примеров.
Пример: алгебры Ли
[править | править код]Для алгебры Ли базисные векторы называются генераторами[англ.] алгебры, а произведение задаётся скобкой Ли. То есть, произведение алгебры "определено" как скобка Ли: для двух векторов и в алгебре, результатом будет В частности, произведение алгебры нельзя путать с матричным произведением, поэтому иногда требуются альтернативные обозначения.
В этом случае нет особой необходимости различать верхний и нижний индексы; они могут быть записаны все вверху или все внизу. В физике обычно используются обозначения для генераторов, а или (игнорируя различие между верхним и нижним) для структурных констант. Скобка Ли пар генераторов представляет собой линейную комбинацию генераторов из множества, т.е.
- .
Путём линейного расширения структурные константы полностью определяют скобки Ли всех элементов алгебры Ли.
Все алгебры Ли удовлетворяют тождеству Якоби. Для базисных векторов это можно записать как
и это непосредственно приводит к соответствующему тождеству в терминах структурных констант:
Выше и оставшаяся часть этой статьи используют соглашение Эйнштейна о суммировании для повторяющихся индексов.
Структурные константы играют роль в представлениях алгебры Ли и фактически дают в точности матричные элементы присоединённого представления. Форма Киллинга и инвариант Казимира также имеют особенно простую форму, когда записываются в терминах структурных констант.
Структурные константы часто появляются в приближении к формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. Для малых элементов алгебры Ли структура группы Ли около единичного элемента задается формулой
Обратите внимание на коэффициент 1/2. Они также появляются в явных выражениях для дифференциалов, таких как .
Примеры алгебры Ли
[править | править код]𝖘𝖚(2) и 𝖘𝖔(3)
[править | править код]Алгебра 𝖘𝖚(2) специальной унитарной группы SU(2) трёхмерна, с генераторами, заданными матрицами Паули . Генераторы группы SU(2) удовлетворяют коммутационным соотношениям (где — символ Леви-Чивиты):
где
В этом случае структурные константы равны . Обратите внимание, что константа 2i может быть включена в определение базисных векторов; таким образом, определяя , можно одинаково хорошо написать
Это подчёркивает, что алгебра Ли 𝖘𝖚(2) группы Ли SU(2) изоморфна алгебре Ли 𝖘𝖔(3) группы SO(3). Это приводит структурные константы в соответствие с константами группа вращения SO(3). То есть коммутатор для оператора углового момента обычно записывается как
где
написаны так, чтобы подчиняться правилу правой руки для вращений в трёхмерном пространстве.
Разница в множителе «2i» между этими двумя наборами структурных констант может приводить в бешенство, поскольку включает в себя некоторую тонкость. Таким образом, например, двумерному комплексному векторному пространству можно придать реальную структуру. Это приводит к двум неэквивалентным двумерным фундаментальному представлению группы (2), которые изоморфны, но являются комплексно сопряжённым представлением; оба, однако, считаются действительными представлениями именно потому, что они действуют в пространстве с реальной структурой[1]. В случае трёх измерений существует только одно трёхмерное представление, присоединённое представление, которое является действительным представлением; точнее, это то же самое, что и его двойное представление, показанное выше. Другими словами, транспонировать является минусом самого себя:
В любом случае группы Ли считаются действительными именно потому, что можно записать структурные константы так, чтобы они были чисто действительными.
𝖘𝖚(3)
[править | править код]Менее тривиальный пример даётся в SU(3)[2].
Его генераторы "T" в определяющем представлении таковы:
где матрицы Гелл-Манна являются SU(3) аналогом матриц Паули для SU(2):
Они подчиняются отношениям
Структурные константы полностью антисимметричны. Их дают:
и все другие , не связанные с ними перестановкой индексов, равны нулю.
d принимают значения:
Примеры из других алгебр
[править | править код]Полиномы Холла
[править | править код]Полиномы Холла - это структурные константы алгебры Холла[англ.].
Алгебры Хопфа
[править | править код]В дополнение к произведению копроизведение и антипод алгебры Хопфа могут быть выражены в терминах структурных констант. Соединяющая аксиома, которая определяет условие согласованности алгебры Хопфа, может быть выражена как связь между этими различными структурными константами.
Приложения
[править | править код]- Группа Ли абелева в точности тогда, когда все структурные константы равны 0.
- Группа Ли является вещественной именно тогда, когда её структурные константы вещественны.
- Структурные константы полностью антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простой[англ.] компактной алгебры Ли[англ.].
- нильпотентная группа Ли допускает решётку тогда и только тогда, когда её алгебра Ли допускает базис с рациональными структурными константами: это критерий Мальцева. Не все нильпотентные группы Ли допускают решётки; для более подробной информации см.также Рагунатан[3].
- В квантовой хромодинамике символ представляет калибровочный ковариант тензор напряжённости глюонного поля[англ.], аналогичный тензору напряжённости электромагнитного поля, Fμν, в квантовая электродинамика. Это даётся в[4]:
- где fabc — структурные константы SU(3). Обратите внимание, что правила отжимания или опускания индексов a, b или c являются тривиальными, (+, ... +), так что fabc = fabc = fa
bc, тогда как для индексов μ или ν существуют нетривиальные релятивистские правила, соответствующие, например, метрической подписи (+ - - -).
Выбор базиса для алгебры Ли
[править | править код]Один из традиционных подходов к обеспечению основы алгебры Ли заключается в использовании так называемых «лестничных операторов», которые появляются как собственные векторы подалгебры Картана. Здесь кратко описывается построение этого базиса с использованием общепринятых обозначений. Альтернативная конструкция (конструкция Серра) может быть найдена в статье "Полупростая алгебра Ли".
Для алгебры Ли подалгебра Картана является максимальной абелевой подалгеброй. По определению, он состоит из тех элементов, которые коммутируют друг с другом. Ортонормированный[англ.] базис можно свободно выбирать на ; запишите эту основу как с
где — это внутреннее произведение в векторном пространстве. Размерность этой подалгебры называется рангом алгебры. Матрицы в присоединённом представлении взаимно коммутируют и могут быть одновременно диагонализованы. Матрицы имеют (одновременные) собственные векторы; которые с ненулевым собственным значением обычно обозначаются . Вместе с они охватывают всё векторное пространство . Тогда коммутационные соотношения имеют вид:
Собственные векторы определяются только до общего масштаба; обычную нормализацию можно установить
Это позволяет записать оставшиеся коммутационные соотношения в виде
и
с этим последним при условии, что корни (определённые ниже) с ненулевым значением: . иногда называют операторами лестницы, поскольку они обладают этим свойством повышения/понижения значения .
Для данного существует столько , сколько имеется , поэтому можно определить вектор , этот вектор называется корень алгебры. Корни алгебр Ли появляются в регулярных структурах (например, в простая алгебра Ли корни могут иметь только две разные длины); подробности см. в корневой системе.
Структурные константы имеют свойство отличаться от нуля только тогда, когда является корнем. Кроме того, они антисимметричны:
и всегда можно выбрать так, чтобы
Они также подчиняются условиям коцикла[5]:
всякий раз, когда , а также что
всякий раз, когда .
Примечания
[править | править код]- ↑ Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
- ↑ Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields. — Cambridge University Press, 1995. — Vol. 1 Foundations. — ISBN 0-521-55001-7.
- ↑ Raghunathan, Madabusi S. 2. Lattices in Nilpotent Lie Groups // Discrete Subgroups of Lie Groups. — Springer, 2012. — ISBN 978-3-642-86428-5.
- ↑ Eidemüller, M.; Dosch, H.G.; Jamin, M. (2000) [1999]. "The field strength correlator from QCD sum rules". Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 86: 421—5. arXiv:hep-ph/9908318. Bibcode:2000NuPhS..86..421E. doi:10.1016/S0920-5632(00)00598-3.
- ↑ Cornwell, J.F. Group Theory In Physics. — Academic Press, 1984. — Vol. 2 Lie Groups and their applications. — ISBN 0121898040.