Предгильбертово пространство (Hjy;inl,Qyjmkfk hjkvmjguvmfk)
Предги́льбертово простра́нство (у некоторых авторов также евклидово пространство) — вещественное или комплексное линейное пространство с определённым на нём скалярным произведением. Оно не обязательно полно, в отличие от гильбертова пространства. Широко используется в функциональном анализе и смежных дисциплинах.
Определение
[править | править код]Пара называется предгильбертовым пространством, если — линейное пространство, а — определённое на скалярное произведение. (Обычно подразумевается скалярное произведение в обычном смысле, то есть положительно определённое.)
Норма
[править | править код]Предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму:
- .
В случаях, когда скалярное произведение не является строго положительно определённым, а именно выбрано так, что может быть нулем при ненулевых (чего бывает трудно избежать в некоторых бесконечномерных случаях), то указанное выше выражение даёт не норму, а только полунорму.
Свойства
[править | править код]Теорема фон Неймана — Йордмана: если в полунормированном пространстве справедлив закон параллелограмма, то — предгильбертово, то есть существует (и притом единственное) скалярное произведение такое, что .
Пример
[править | править код]В теории рядов Фурье широкое распространение находит предгильбертово пространство вещественных функций с интегрируемым квадратом
если скалярное произведение определить как
Введённое таким образом скалярное произведение даёт не норму, а лишь полунорму, если не отождествить функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль (как это делается при стандартном построении пространства L2).
См. также
[править | править код]Для улучшения этой статьи желательно:
|