Список кубик классификации Ньютона (Vhnvkt trQnt tlgvvnsntgenn U,Zmkug)
Следующие таблицы — списки 78 кубик первой классификации Ньютона[1][2].
Класс I. Гиперболическая гипербола
[править | править код]Здесь описан класс I гиперболических гипербол, (англ. Class I. Redundant Hyperbolas[2]).[3]
Гиперболическая гипербола
имеет три обыкновенные асимптоты
пересекающиеся в вершинах следующего асимптотического треугольника[4]:
Гиперболическая гипербола пересекает три свои асимптоты на конечном расстоянии в следующих трёх точках (у Смогоржевского и Столовой опечатка: в ординате не хватает множителя )[5], лежащих на одной прямой[6]:
Род 1. Адиаметралъная гиперболическая гипербола
[править | править код]Здесь представлена таблица со списком рода 1 адиаметралъных гиперболических гипербол, . Будем также полагать, что (англ. Genus 1. Adiametral Redundant Hyperbolas[2])[7].
Адиаметралъная гиперболическая гипербола (без диаметров) имеет характеристическое уравнение
а также и пусть — его корни[4].
Рассматривая уравнение гиперболической гиперболы как квадратное относительно получаем:
где действительное или мнимое значение переменной определяет знак подкоренного выражения, то есть знак левой части уравнения гиперболической гиперболы[4].
Отметим следующую гиперболу и её свойства[5]:
- эта гипербола делит пополам каждую хорду адиаметралъной гиперболической гиперболы, перпендикулярную к оси абсцисс;
- эта гипербола пересекает адиаметралъную гиперболическу гиперболу в следующих точках и только в них:
Существует девять разных адиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8].
№ | Описание[7] | Изображение, |
---|---|---|
1 | 1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например,
На графике овал находится внутри асимптотического треугольника. |
|
2 | 2. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,
|
|
3 | 3. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например,
|
|
4 | 4. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше или меньше остальных разных корней, например,
На графике точка самопересечения лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
5 | 5. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, два равны и больше одного и меньше другого остальных разных корней, например,
На графике изолированная точка лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
6 | 6. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например,
На графике касп лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
7 | 7. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
Имеем: |
|
8 | 8. Два корня характеристического уравнения — равные действительные, два комплексно сопряжённых, например,
|
|
9 | 9. Все корни характеристического уравнения — комплексные попарно сопряжённые, например,
|
Род 2. Монодиаметралъная гиперболическая гипербола
[править | править код]Здесь представлена таблица со списком рода 2 монодиаметралъных гиперболических гипербол, , , (англ. Genus 2. Monodiametral Redundant Hyperbolas[2])[9].
Монодиаметралъная гиперболическая гипербола имеет один диаметр
и характеристическое уравнение
и пусть — его корни[4].
Ньютон относит к этому роду двенадцать разных монодиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8].
№ | Описание[9] | Изображение, |
---|---|---|
10 | 1. Все корни характеристического уравнения — различные действительные одного знака, например,
На графике овал находится внутри асимптотического треугольника. |
|
11 | 2. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и например,
|
|
12 | 3. Все корни характеристического уравнения — различные действительные разных знаков и например,
|
|
13 | 4. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и например,
|
|
14 | 5. Два отрицательных корня характеристического уравнения равны, меньше различных неотрицательных и например,
|
|
15 | 6. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше третьего и меньше четвёртого, например,
На графике изолированная точка лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
16 | 7. Все корни характеристического уравнения — действительные одного знака, кратный корень больше разных остальных, например,
На графике точка самопересечения лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
17 | 8. Все корни характеристического уравнения — действительные, три равны, например,
На графике касп лежит внутри асимптотического треугольника. |
|
18 | 9. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
и одинаковых знаков, причём Имеем: |
|
19 | 10. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
и одинаковых знаков, причём |
|
20 | 11. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
и разных знаков, причём и При имеем , то есть гиперболическая гипербола имеет род 4. |
|
21 | 12. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
и разных знаков, причём и |
Род 3. Тридиаметралъная гиперболическая гипербола
[править | править код]Здесь представлена таблица со списком рода 3 тридиаметралъных гиперболических гипербол, , (англ. Genus 3. Tridiametral Redundant Hyperbolas[2])[10].
Тридиаметралъная гиперболическая гипербола при имеет три диаметра
и характеристическое уравнение
и пусть — его корни[11].
Это характеристическое уравнение имеет комплексные корни. Пусть В этих условиях получаем следующее уравнение гиперболической гиперболы[11]:
Перепишем условие
откуда получаем следующее выражение для , решая квадратное уравнение[11]:
Ньютон относит к этому роду два вида разных тридиаметралъных гиперболических гипербол, описанных в следующей таблице[8][11]. Для первого вида переменные и имеют одинаковые знаки, для второго — разные[12].
№ | Описание[7] | Изображение, |
---|---|---|
22 | 1. Например, корни характеристического уравнения —
где |
|
23 | 2. Например, корни характеристического уравнения —
где |
Род 4. Гиперболическая гипербола с асимптотами, пересекающимися в одной точке
[править | править код]Здесь представлена таблица со списком рода 4 гиперболических гипербол с асимптотами, пересекающимися в одной точке, (англ. Genus 1. Redundant Hyperbolas with asymptotes concurrent[2]). Эти кривые получаются стягиванием в точку асимптотического треугольника у адиаметралъных, монодиаметралъных и тридиаметральны гиперболических гипербол, всего девять случаев[12].
№ | Описание[12] | Изображение |
---|---|---|
Адиаметралъные гиперболические гиперболы, | ||
24 | 1. Получается из типа 7 рода 1. Все корни характеристического уравнения — разные, два действительных, два комплексно сопряжённых, например,
Имеем: |
|
25 | 2. Получается из типа 3 (или 8) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные, два равны и больше или меньше остальных разных корней с другим знаком, например,
|
|
26 | 3. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,
График адиаметралъной гиперболической гиперболы не проходит через точку пересечения асимптот. |
|
27 | 4. Получается из типа 2 (или 9) рода 1. Все корни характеристического уравнения — действительные и различные, два положительны, два отрицательны, например,
График адиаметралъной гиперболической гиперболы проходит через точку пересечения асимптот. |
|
Монодиаметралъные гиперболические гиперболы, | ||
Тридиаметралъные гиперболические гиперболы, |
Примечания
[править | править код]- ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 7—28.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 Ball W. W. Rouse Newton's classification of cubic curves, 1891, 38.
- ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 7—17.
- ↑ 1 2 3 4 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 9.
- ↑ 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 10.
- ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 28.
- ↑ 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 9—13.
- ↑ 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 8.
- ↑ 1 2 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 13—16.
- ↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 16—17.
- ↑ 1 2 3 4 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 16.
- ↑ 1 2 3 Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961, § 1. Классификация Ньютона, с. 17.
Источники
[править | править код]- Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
- Ball W. W. Rouse[англ.] Newton's classification of cubic curves, Proc. London Math. Soc. 1891. Vol. 50, Iss. 2. P. 35–40.
На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. |