Связанное состояние (Vfx[guuky vkvmkxuny)

Связанное состояние — это сочетание двух или более фундаментальных строительных блоков, таких как частицы, атомы или тела, которые ведут себя как единый объект и для его разделения требуется энергия^[1].

В квантовой физике связанное состояние — это квантовое состояние частицы, подверженное такому потенциалу, что частица имеет тенденцию оставаться локализованной в одной или нескольких областях пространства^[2]. Потенциал может быть внешним или быть результатом присутствия другой частицы; в последнем случае можно эквивалентно определить связанное состояние как состояние, представляющее две или более частицы, энергия взаимодействия которых превышает полную энергию каждой отдельной частицы в отдельности. Одним из последствий является то, что, учитывая потенциал, исчезающий на бесконечности, состояния с отрицательной энергией должны быть связаны. Энергетический спектр набора связанных состояний чаще всего дискретен, в отличие от состояний рассеяния свободных частиц, которые имеют непрерывный спектр.

Метастабильные состояния с чистой положительной энергией взаимодействия, но большим временем затухания, хотя и не являются связанными состояниями в строгом смысле этого слова, часто также считаются нестабильными связанными состояниями и называются «квазисвязанными состояниями»^[3]. Примеры включают радионуклиды и атомы Ридберга^[4].

В релятивистской квантовой теории поля устойчивое связанное состояние n частиц с массами $\{m_{k}\}_{k=1}^{n}$ соответствует полюсу в S-матрице с энергией центра масс менее $\textstyle \sum _{k}m_{k}$ . Нестабильное связанное состояние проявляется в виде полюса со комплекснозначной энергией центра масс.

Примеры

Протон и электрон могут двигаться отдельно; когда они это делают, то общая энергия центра масс положительна, и такую пару частиц можно описать как ионизированный атом. Как только электрон начинает «вращаться» вокруг протона, энергия становится отрицательной и возникает связанное состояние — атом водорода. Стабильным является только связанное состояние, которое обладает наименьшей энергией, называемое основным состоянием. Другие возбуждённые состояния нестабильны и распадаются на стабильные (но не на другие нестабильные) связанные состояния с меньшей энергией, например, путём испускания фотона.
Позитроний — это нестабильное связанное состояние электрона и позитрона. Он распадается на фотоны.
Любое состояние квантового гармонического осциллятора является связанным, но имеет положительную энергию. Обратите внимание, что $\lim _{x\to \pm \infty }{V_{\text{QHO}}(x)}=\infty$ , поэтому приведённое ниже неприменимо.
Ядро — это связанное состояние протонов и нейтронов (нуклонов).
Сам протон представляет собой связанное состояние трёх кварков (два верхних и один нижний; один красный, один зелёный и один синий). Однако, в отличие от атома водорода, отдельные кварки никогда не могут быть разделены.
Модели Хаббарда и Джейнса — Каммингса — Хаббарда (JCH) оптсывают аналогичные связанные состояния. В модели Хаббарда два отталкивающихся бозонных атома могут образовывать связанную пару в оптической решётке^[5]^[6]^[7]. Гамильтониан JCH также имеет решение в виде двухполяритонных связанные состояний при достаточно сильном взаимодействии фотона с атомом^[8].

Определение

Пусть σ -конечное пространство с мерой $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ есть вероятностное пространство, связанное с сепарабельным комплексным гильбертовым пространством $H$ . Определимоднопараметрическую группу унитарных операторов $(U_{t})_{t\in \mathbb {R} }$ , оператор плотности $\rho =\rho (t_{0})$ и наблюдаемую $T$ на $H$ . Пусть $\mu (T,\rho )$ индуцирована распределением вероятностей $T$ относительно $\rho$ . Тогда эволюция

\rho (t_{0})\mapsto [U_{t}(\rho )](t_{0})=\rho (t_{0}+t)

связан (ограничена) по отношению к $T$ если

\lim _{R\rightarrow \infty }{\sup _{t\geq t_{0}}{\mu (T,\rho (t))(\mathbb {R} _{>R})}}=0

,

где $\mathbb {R} _{>R}=\lbrace x\in \mathbb {R} \mid x>R\rbrace$ .^{[источник не указан 218 дней]}^[9]

Квантовая частица находится в связанном состоянии, если ни в какой момент времени она не оказывается «слишком далеко» от любой конечной области $R\subset X$ . Например, используя представление волновой функции, это означает

{\begin{aligned}0&=\lim _{R\to \infty }{\mathbb {P} ({\text{particle measured inside }}X\setminus R)}\\&=\lim _{R\to \infty }{\int _{X\setminus R}|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)},\end{aligned}}

такой, что

\int _{X}{|\psi (x)|^{2}\,d\mu (x)}<\infty .

В общем, квантовое состояние является связанным состоянием тогда и только тогда, когда оно конечно нормируемо во все времена $t\in \mathbb {R}$ ^[10]. Кроме того, связанное состояние лежит в пределах чисто точечной части спектра $T$ тогда и только тогда, когда оно является собственным состоянием $T$ ^[11].

Говоря более неформально, «ограниченность» является результатом выбора области определения и характеристик состояния, а не наблюдаемой велечины. Для конкретного примера: пусть $H:=L^{2}(\mathbb {R} )$ и разрешим $T$ быть оператором координаты. Учитывая компактную $\rho =\rho (0)\in H$ и $[-1,1]\subseteq \mathrm {Supp} (\rho )$ .

Если эволюция состояния $\rho$ «перемещает этот волновой пакет вправо», например, если $[t-1,t+1]\in \mathrm {Supp} (\rho (t))$ для всех $t\geq 0$ , затем $\rho$ не является связанным состоянием по отношению к координате.
Если $\rho$ не меняется во времени, то есть $\rho (t)=\rho$ для всех $t\geq 0$ , тогда $\rho$ привязано по отношению к положению.
В более общем случае: если эволюция состояния $\rho$ «просто движется $\rho$ внутри ограниченной области», то $\rho$ привязано по отношению к координате.

Характеристики

Поскольку конечно нормируемые состояния должны лежать в пределах чисто точечной части (дискретного) спектра, связанные состояния должны лежать в чисто точечной части. Однако, как указали Нейман и Вигнер, энергия связанного состояния может находиться в непрерывной части спектра. Это явление называется связанным состоянием в континууме^[12]^[13].

Состояния, связанные с координатой

Рассмотрим одночастичное уравнение Шрёдингера. Если состояние обладает энергией ${\textstyle E<\max {\left(\lim _{x\to \infty }{V(x)},\lim _{x\to -\infty }{V(x)}\right)}}$ , то волновая функция ψ удовлетворяет для некоторого $X>0$

{\frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V(x)-E)>0{\text{ for }}x>X

так что ψ экспоненциально затухает при больших x. Такое поведение хорошо изучено для плавно меняющихся потенциалов в приближении ВКБ для волновой функции, где наблюдается колебательное поведение, если правая часть уравнения отрицательна, и поведение роста/затухания, если оно положительно^[14]. Следовательно, состояния с отрицательной энергией связаны, если V обращается в нуль на бесконечности.

Невырожденность в одномерных связанных состояниях

Ниже показано, что одномерные связанные состояния невырождены по энергии для волновых функций с хорошим поведением, которые затухают до нуля на бесконечности. Это не обязательно справедливо для волновой функции в более высоких измерениях. Благодаря свойству невырожденных состояний одномерные связанные состояния всегда можно выразить как действительные волновые функции.

Доказательство

Рассмотрим два собственных состояний

{\textstyle \Psi _{1}}

и

{\textstyle \Psi _{2}}

с одинаковым собственным значением энергии.

Тогда, поскольку уравнение Шредингера выражается как: $E=-{\frac {1}{\Psi _{i}(x,t)}}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\ partial^{2}\Psi _{i}(x,t)}{\partial x^{2}}}+V(x,t)$ удовлетворяется для i = 1 и 2, вычитание двух уравнений даёт:

{\frac {1}{\Psi _{1}(x,t)}}{\frac {\partial ^{2}\Psi _{1}(x,t)}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{\Psi _{2}(x,t)}}\ frac{\partial ^{2}\Psi _{2}(x,t)}{\partial x^{2}}=0

которое можно переставить, чтобы получить условие

{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}\Psi _{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}\Psi _{1}\right)=0

Поскольку ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)-{\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)=C}$ , принимая предел x, стремящийся к бесконечности с обеих сторон, волновые функции исчезают и дают ${\textstyle C=0}$ .

Решение задачи ${\textstyle {\frac {\partial \Psi _{1}}{\partial x}}(x)\Psi _{2}(x)={\frac {\partial \Psi _{2}}{\partial x}}(x)\Psi _{1}(x)}$ , мы получаем: ${\textstyle \Psi _{1}(x)=k\Psi _{2}(x)}$ , что доказывает, что собственная функция энергии одномерного связанного состояния уникальна.

Более того, можно показать, что эти волновые функции всегда могут быть представлены вполне реальной волновой функцией. Определить реальные функции ${\textstyle \rho _{1}(x)}$ и ${\textstyle \rho _{2}(x)}$ такой, что ${\textstyle \Psi (x)=\rho _{1}(x)+i\rho _{2}(x)}$ . Затем из уравнения Шрёдингера: $\Psi ''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\Psi$ мы получаем это, поскольку члены в уравнении все действительные значения

\rho _{i}''=-{\frac {2m(E-V(x))}{\hbar ^{2}}}\rho _{i}

применяется для i = 1 и 2. Таким образом, каждое одномерное связанное состояние может быть представлено вполне вещественными собственными функциями. Обратите внимание, что вещественное представление волновых функций из этого доказательства применимо для всех невырожденных состояний в целом.

Теорема об узлах

Теорема об узлах утверждает, что n-я связанная волновая функция, упорядоченная по возрастанию энергии, имеет ровно n-1 узлов, то есть точки $x=a$ где $\psi (a)=0\neq \psi '(a)$ . Из-за формы независимых от времени уравнений Шрёдингера физическая волновая функция не может иметь $\psi (a)=0=\psi '(a)$ поскольку это соответствует решению $\psi (x)=0$ ^[15].

Требования

Бозон с массой m_χ, передающий слабосвязанное взаимодействие, создаёт потенциал взаимодействия типа Юкавы:

V(r)=\pm {\frac {\alpha _{\chi }}{r}}e^{-{\frac {r}{\lambda \!\!\!{\frac {}{\ }}_{\chi }}}}

,

где $\alpha _{\chi }=g^{2}/4\pi$ , g — калибровочная константа связи, ƛ_i = ℏ/m_ic

— приведённая комптоновская длина волны. Скалярный бозон создает универсальный потенциал притяжения, тогда как векторый притягивает частицы к античастицам, но отталкивает, как подобные пары. Для двух частиц массой m₁ и m₂ боровский радиус системы равен

a_{0}={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}{\alpha _{\chi }}}

и даёт безразмерное число

D={\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{a_{0}}}=\alpha _{\chi }{\frac {{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{\chi }}{{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{1}+{\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}}_{2}}}=\alpha _{\chi }{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{\chi }}}

.

Для того чтобы первое связанное состояние вообще существовало, $D\gtrsim 0.8$ . Поскольку фотон безмассовый, то для электромагнетизма D бесконечно. Для слабого взаимодействия масса Z-бозона равна 91,1876 ± 0,0021 GeV/c2, что предотвращает образование связанных состояний между большинством частиц, так как оно составляет 97,2 times массы протона и 178,000 times массы электрона.

Если бы хиггсовское взаимодействие не нарушило электрослабую симметрию на электрослабом масштабе, то SU(2) слабое взаимодействие обладало бы свойством конфайнмента^[16].

Примечания

↑ Bound state - Oxford Reference (неопр.). Дата обращения: 6 мая 2024. Архивировано 13 ноября 2023 года.
↑ Blanchard, Philippe. Mathematical Methods in Physics / Philippe Blanchard, Erwin Brüning. — Birkhäuser, 2015. — P. 430. — ISBN 978-3-319-14044-5.
↑ Sakurai, Jun. 7.8 // Modern Quantum Mechanics / Tuan. — Revised. — Reading, Mass : Addison-Wesley, 1995. — P. 418–9. — «Suppose the barrier were infinitely high ... we expect bound states, with energy E > 0. ... They are stationary states with infinite lifetime. In the more realistic case of a finite barrier, the particle can be trapped inside, but it cannot be trapped forever. Such a trapped state has a finite lifetime due to quantum-mechanical tunneling. ... Let us call such a state quasi-bound state because it would be an honest bound state if the barrier were infinitely high.». — ISBN 0-201-53929-2.
↑ Gallagher, Thomas F. Oscillator strengths and lifetimes // Rydberg Atoms. — 1. — Cambridge University Press, 1994-09-15. — P. 38–49. — ISBN 978-0-521-38531-2. — doi:10.1017/cbo9780511524530.005.
↑ K. Winkler; G. Thalhammer; F. Lang; R. Grimm; J. H. Denschlag; A. J. Daley; A. Kantian; H. P. Buchler; P. Zoller (2006). "Repulsively bound atom pairs in an optical lattice". Nature. 441 (7095): 853—856. arXiv:cond-mat/0605196. Bibcode:2006Natur.441..853W. doi:10.1038/nature04918. PMID 16778884. S2CID 2214243.
↑ Javanainen, Juha; Odong Otim; Sanders, Jerome C. (Apr 2010). "Dimer of two bosons in a one-dimensional optical lattice". Phys. Rev. A. 81 (4): 043609. arXiv:1004.5118. Bibcode:2010PhRvA..81d3609J. doi:10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID 55445588.
↑ M. Valiente & D. Petrosyan (2008). "Two-particle states in the Hubbard model". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 41 (16): 161002. arXiv:0805.1812. Bibcode:2008JPhB...41p1002V. doi:10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID 115168045.
↑ Max T. C. Wong & C. K. Law (May 2011). "Two-polariton bound states in the Jaynes-Cummings-Hubbard model". Phys. Rev. A. 83 (5). American Physical Society: 055802. arXiv:1101.1366. Bibcode:2011PhRvA..83e5802W. doi:10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID 119200554.
↑ Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: I: Functional analysis / M. Reed, B. Simon. — Academic Press, 1980. — P. 303. — ISBN 978-0-12-585050-6.
↑ Ruelle, D. (1969). "A remark on bound states in potential-scattering theory" (PDF). Il Nuovo Cimento A. 61 (4). Springer Science and Business Media LLC. doi:10.1007/bf02819607. ISSN 0369-3546. Архивировано (PDF) 6 апреля 2024. Дата обращения: 6 мая 2024.
↑ Simon. An Overview of Rigorous Scattering Theory (неопр.) 3 (1978).
↑ Stillinger, Frank H.; Herrick, David R. (1975). "Bound states in the continuum". Physical Review A. 11 (2). American Physical Society (APS): 446—454. doi:10.1103/physreva.11.446. ISSN 0556-2791.
↑ Hsu, Chia Wei; Zhen, Bo; Stone, A. Douglas; Joannopoulos, John D.; Soljačić, Marin (2016). "Bound states in the continuum". Nature Reviews Materials. 1 (9). Springer Science and Business Media LLC. doi:10.1038/natrevmats.2016.48. ISSN 2058-8437. {{cite journal}}: |hdl-access= требует |hdl= (справка)
↑ Hall, Brian C. Quantum theory for mathematicians. — New York Heidelberg$fDordrecht London : Springer, 2013. — P. 316—320. — ISBN 978-1-4614-7115-8.
↑ Berezin, F. A. The Schrödinger equation. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1991. — P. 64–66. — ISBN 978-0-7923-1218-5.
↑ Claudson, M.; Farhi, E.; Jaffe, R. L. (1 August 1986). "Strongly coupled standard model". Physical Review D. 34 (3): 873—887. Bibcode:1986PhRvD..34..873C. doi:10.1103/PhysRevD.34.873. PMID 9957220.

Литература

Blanchard, Philippe. Some Applications of the Spectral Representation // Mathematical Methods in Physics: Distributions, Hilbert Space Operators, Variational Methods, and Applications in Quantum Physics : [] / Philippe Blanchard, Edward Brüning. — 2nd. — Switzerland : Springer International Publishing, 2015. — P. 431. — ISBN 978-3-319-14044-5.
Gustafson, Stephen J. Spectrum and Dynamics // Mathematical Concepts of Quantum Mechanics : [] / Stephen J. Gustafson, Israel Michael Sigal. — 2nd. — Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2011. — P. 50. — ISBN 978-3-642-21865-1.
Ruelle, David (9 January 2016). "A Remark on Bound States in Potential-Scattering Theory" (PDF). Nuovo Cimento A. 61 (June 1969): 655—662. doi:10.1007/BF02819607. S2CID 56050354. Дата обращения: 27 декабря 2021.

[1] Bound state - Oxford Reference (неопр.). Дата обращения: 6 мая 2024. Архивировано 13 ноября 2023 года.

[2] Blanchard, Philippe. Mathematical Methods in Physics / Philippe Blanchard, Erwin Brüning. — Birkhäuser, 2015. — P. 430. — ISBN 978-3-319-14044-5.

[3] Sakurai, Jun. 7.8 // Modern Quantum Mechanics / Tuan. — Revised. — Reading, Mass : Addison-Wesley, 1995. — P. 418–9. — «Suppose the barrier were infinitely high ... we expect bound states, with energy E > 0. ... They are stationary states with infinite lifetime. In the more realistic case of a finite barrier, the particle can be trapped inside, but it cannot be trapped forever. Such a trapped state has a finite lifetime due to quantum-mechanical tunneling. ... Let us call such a state quasi-bound state because it would be an honest bound state if the barrier were infinitely high.». — ISBN 0-201-53929-2.

[4] Gallagher, Thomas F. Oscillator strengths and lifetimes // Rydberg Atoms. — 1. — Cambridge University Press, 1994-09-15. — P. 38–49. — ISBN 978-0-521-38531-2. — doi:10.1017/cbo9780511524530.005.

[5] K. Winkler; G. Thalhammer; F. Lang; R. Grimm; J. H. Denschlag; A. J. Daley; A. Kantian; H. P. Buchler; P. Zoller (2006). "Repulsively bound atom pairs in an optical lattice". Nature. 441 (7095): 853—856. arXiv:cond-mat/0605196. Bibcode:2006Natur.441..853W. doi:10.1038/nature04918. PMID 16778884. S2CID 2214243.

[6] Javanainen, Juha; Odong Otim; Sanders, Jerome C. (Apr 2010). "Dimer of two bosons in a one-dimensional optical lattice". Phys. Rev. A. 81 (4): 043609. arXiv:1004.5118. Bibcode:2010PhRvA..81d3609J. doi:10.1103/PhysRevA.81.043609. S2CID 55445588.

[7] M. Valiente & D. Petrosyan (2008). "Two-particle states in the Hubbard model". J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 41 (16): 161002. arXiv:0805.1812. Bibcode:2008JPhB...41p1002V. doi:10.1088/0953-4075/41/16/161002. S2CID 115168045.

[8] Max T. C. Wong & C. K. Law (May 2011). "Two-polariton bound states in the Jaynes-Cummings-Hubbard model". Phys. Rev. A. 83 (5). American Physical Society: 055802. arXiv:1101.1366. Bibcode:2011PhRvA..83e5802W. doi:10.1103/PhysRevA.83.055802. S2CID 119200554.

[9] Reed, M. Methods of Modern Mathematical Physics: I: Functional analysis / M. Reed, B. Simon. — Academic Press, 1980. — P. 303. — ISBN 978-0-12-585050-6.

[10] Ruelle, D. (1969). "A remark on bound states in potential-scattering theory" (PDF). Il Nuovo Cimento A. 61 (4). Springer Science and Business Media LLC. doi:10.1007/bf02819607. ISSN 0369-3546. Архивировано (PDF) 6 апреля 2024. Дата обращения: 6 мая 2024.

[11] Simon. An Overview of Rigorous Scattering Theory (неопр.) 3 (1978).

[12] Stillinger, Frank H.; Herrick, David R. (1975). "Bound states in the continuum". Physical Review A. 11 (2). American Physical Society (APS): 446—454. doi:10.1103/physreva.11.446. ISSN 0556-2791.

[13] Hsu, Chia Wei; Zhen, Bo; Stone, A. Douglas; Joannopoulos, John D.; Soljačić, Marin (2016). "Bound states in the continuum". Nature Reviews Materials. 1 (9). Springer Science and Business Media LLC. doi:10.1038/natrevmats.2016.48. ISSN 2058-8437. {{cite journal}}: |hdl-access= требует |hdl= (справка)

[14] Hall, Brian C. Quantum theory for mathematicians. — New York Heidelberg$fDordrecht London : Springer, 2013. — P. 316—320. — ISBN 978-1-4614-7115-8.

[15] Berezin, F. A. The Schrödinger equation. — Dordrecht ; Boston : Kluwer Academic Publishers, 1991. — P. 64–66. — ISBN 978-0-7923-1218-5.

[16] Claudson, M.; Farhi, E.; Jaffe, R. L. (1 August 1986). "Strongly coupled standard model". Physical Review D. 34 (3): 873—887. Bibcode:1986PhRvD..34..873C. doi:10.1103/PhysRevD.34.873. PMID 9957220.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]