Свойство Дарбу (Vfkwvmfk :gjQr)

Эта статья — о теореме Дарбу из математического анализа. Об утверждении симплектической геометрии см. Теорема Дарбу.

Свойство Дарбу́ — свойство вещественнозначной функции $f$ на отрезке $[a,b]\subset \mathbb {R}$, согласно которому образ отрезка есть отрезок: найдутся такие $c,d\in \mathbb {R}$, что $f([a,b])=[c,d]$.

Выполнение свойства Дарбу для непрерывных функций непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении и теоремы Вейрштрасса — непрерывный образ отрезка всегда есть отрезок. Дарбу установил, что этому свойству могут удовлетворять не только непрерывные функции (теорема Дарбу): если функция $f$ дифференцируема в каждой точке отрезка $[a,b]$, то и производная $f'$ на этом отрезке обладает свойством Дарбу (даже если эта производная разрывна).

Возможны и другие случаи, когда разрывные функции обладают свойством Дарбу, например, таков топологический синус, задаваемый с разрывом в нуле:

$\operatorname {Tsin} (x)=\left\{{\begin{matrix}\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{matrix}}\right.$.

Пример всюду разрывной функции, обладающей свойством Дарбу, — тринадцатеричная функция Конвея.

Монотонная на заданном отрезке функция обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна на нём.

Теорема Серпинского: любая функция может быть представлена суммой двух функций со свойством Дарбу.

Строгое свойство Дарбу: образ всякого непустого открытого интервала — вся вещественная прямая:

$\forall (a<b\in \mathbb {R} )f{\big (}(a,b){\big )}=\mathbb {R}$.

Тринадцатеричная функция Конвея удовлетворяет также и строгому свойству.

Литература

• Дарбу теорема — статья из Математической энциклопедии. Кудрявцев Л. Д.
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. Начальный курс. — МГУ, 1985.
• Ciesielski K. Set theory for the working mathematician. — Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — (London Mathematical Society Student Texts, Vol. 39). — ISBN 0-521-59441-3.