Сапог Шварца (Vghki Ofgjeg)

Сапог Шварца (от нем. Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

История

Конструкция была предложена в 1890 году Германом Шварцем как контрпример к ошибочному определению площади поверхности в книге Жозефа Серре^[1]. Независимо от Шварца, тот же пример был найден Джузеппе Пеано. Его учитель Анджело Дженокки^[итал.] также обсуждал этот вопрос со Шварцем. Дженокки проинформировал Шарля Эрмита, который использовал ошибочное определение Серре в своем курсе. После этого Эрмит пересмотрел свой курс и опубликовал заметку Шварца во втором издании своих лекций.^[2]

Конструкция

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на $n$ равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные $k$ -угольники, причём соседние $k$ -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол $\pi /k$ чтобы вершины вышележащего $k$ -угольника находились над серединами сторон нижележащего $k$ -угольника. Затем вершины $k$ -угольников соединяются так, что образуется поверхность из $2nk$ треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная многогранная поверхность называется сапогом Шварца.

Если $n,k\to \infty$ , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства

Простой подсчёт показывает, что
- при $k,n/k^{2}\to \infty$ площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
- при $n,k^{2}/n\to \infty$ площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Примечания

↑ J. A. Serret, Cours de calcul differentiel et integral (станица 296 первого издания и страница 298 второго)
↑ Schwarz, H. A., «Sur une définition erronée de l’aire d’une surface courbe», Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309—311

Литература

Дубровский В. Н. В поисках определения площади поверхности // Квант. — 1978. — № 5. — С. 31—34.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Мир, 1969. — Т. 3. (§ 623).

[1] J. A. Serret, Cours de calcul differentiel et integral (станица 296 первого издания и страница 298 второго)

[2] Schwarz, H. A., «Sur une définition erronée de l’aire d’une surface courbe», Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1 (1890), 309—311

[1]

[2]