Разделённая ра́зность — обобщение понятия производной для дискретного набора точек.
Пусть функция
f
{\displaystyle f}
X
,
{\displaystyle X,}
попарно различные точки
x
0
,
…
,
x
n
∈
X
.
{\displaystyle x_{0},\;\ldots ,\;x_{n}\in X.}
Тогда
разделённой разностью нулевого порядка функции
f
{\displaystyle f}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
f
(
x
j
)
,
{\displaystyle f(x_{j}),}
разделённую разность порядка
k
{\displaystyle k}
для системы точек
(
x
j
,
x
j
+
1
,
…
,
x
j
+
k
)
{\displaystyle (x_{j},\;x_{j+1},\;\ldots ,\;x_{j+k})}
(
k
−
1
)
{\displaystyle (k-1)}
f
(
x
j
;
x
j
+
1
;
…
;
x
j
+
k
−
1
;
x
j
+
k
)
=
f
(
x
j
+
1
;
…
;
x
j
+
k
−
1
;
x
j
+
k
)
−
f
(
x
j
;
x
j
+
1
;
…
;
x
j
+
k
−
1
)
x
j
+
k
−
x
j
,
{\displaystyle f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})={\frac {f(x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1};\;x_{j+k})-f(x_{j};\;x_{j+1};\;\ldots ;\;x_{j+k-1})}{x_{j+k}-x_{j}}},}
в частности,
f
(
x
0
;
x
1
)
=
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}},}
f
(
x
0
;
x
1
;
x
2
)
=
f
(
x
1
;
x
2
)
−
f
(
x
0
;
x
1
)
x
2
−
x
0
=
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
−
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{1};\;x_{2})-f(x_{0};\;x_{1})}{x_{2}-x_{0}}}={\dfrac {{\dfrac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}-{\dfrac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}},}
f
(
x
0
;
x
1
;
…
;
x
n
−
1
;
x
n
)
=
f
(
x
1
;
…
;
x
n
−
1
;
x
n
)
−
f
(
x
0
;
x
1
;
…
;
x
n
−
1
)
x
n
−
x
0
.
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})={\frac {f(x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})-f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1})}{x_{n}-x_{0}}}.}
Для разделённой разности верна формула
f
(
x
0
;
x
1
;
…
;
x
n
)
=
∑
j
=
0
n
f
(
x
j
)
∏
i
=
0
i
≠
j
n
(
x
j
−
x
i
)
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n})=\sum _{j=0}^{n}{\dfrac {f(x_{j})}{\prod \limits _{i=0 \atop i\neq j}^{n}(x_{j}-x_{i})}},}
в частности,
f
(
x
0
;
x
1
)
=
f
(
x
1
)
x
1
−
x
0
+
f
(
x
0
)
x
0
−
x
1
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})={\frac {f(x_{1})}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {f(x_{0})}{x_{0}-x_{1}}},}
f
(
x
0
;
x
1
;
x
2
)
=
f
(
x
2
)
(
x
2
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)
+
f
(
x
1
)
(
x
1
−
x
2
)
(
x
1
−
x
0
)
+
f
(
x
0
)
(
x
0
−
x
2
)
(
x
0
−
x
1
)
.
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})={\frac {f(x_{2})}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{1})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}}+{\frac {f(x_{0})}{(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}}.}
Разделённая разность является симметрической функцией своих аргументов, то есть при любой их перестановке её значение не меняется, в частности,
f
(
x
0
;
x
1
)
=
f
(
x
1
;
x
0
)
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1})=f(x_{1};\;x_{0}),}
f
(
x
0
;
x
1
;
x
2
)
=
f
(
x
1
;
x
0
;
x
2
)
=
f
(
x
2
;
x
1
;
x
0
)
,
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})=f(x_{1};\;x_{0};\;x_{2})=f(x_{2};\;x_{1};\;x_{0}),}
f
(
x
0
;
x
1
;
…
;
x
n
−
1
;
x
n
)
=
f
(
x
n
;
x
n
−
1
;
…
;
x
1
;
x
0
)
.
{\displaystyle f(x_{0};\;x_{1};\;\ldots ;\;x_{n-1};\;x_{n})=f(x_{n};\;x_{n-1};\;\ldots ;\;x_{1};\;x_{0}).}
При фиксированной системе точек
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})}
линейным функционалом , то есть для функций
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
a
⋅
f
+
b
⋅
g
)
(
x
0
;
…
;
x
n
)
=
a
⋅
f
(
x
0
;
…
;
x
n
)
+
b
⋅
g
(
x
0
;
…
;
x
n
)
.
{\displaystyle (a\cdot f+b\cdot g)(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})=a\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})+b\cdot g(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n}).}
С помощью разделённых разностей функции
f
{\displaystyle f}
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{0},\;\ldots ,\;x_{n})}
интерполяционный многочлен Ньютона «вперёд»:
L
n
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
(
x
0
;
x
1
)
⋅
(
x
−
x
0
)
+
f
(
x
0
;
x
1
;
x
2
)
⋅
(
x
−
x
0
)
⋅
(
x
−
x
1
)
+
…
+
f
(
x
0
;
…
;
x
n
)
⋅
∏
k
=
0
n
−
1
(
x
−
x
k
)
=
=
f
(
x
0
)
+
(
x
−
x
0
)
⋅
(
f
(
x
0
;
x
1
)
+
(
x
−
x
1
)
⋅
(
f
(
x
0
;
x
1
;
x
2
)
+
…
+
(
x
−
x
n
−
1
)
⋅
f
(
x
0
;
…
;
x
n
)
…
)
)
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{0})+f(x_{0};\;x_{1})\cdot (x-x_{0})+f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})\cdot (x-x_{0})\cdot (x-x_{1})+\ldots +f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\cdot \prod _{k=0}^{n-1}(x-x_{k})=\\&=&f(x_{0})+(x-x_{0})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1})+(x-x_{1})\cdot \left(f(x_{0};\;x_{1};\;x_{2})+\ldots +(x-x_{n-1})\cdot f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{n})\ldots \right)\right),\end{array}}}
так и интерполяционный многочлен Ньютона «назад»:
L
n
(
x
)
=
f
(
x
n
)
+
f
(
x
n
;
x
n
−
1
)
⋅
(
x
−
x
n
)
+
f
(
x
n
;
x
n
−
1
;
x
n
−
2
)
⋅
(
x
−
x
n
)
⋅
(
x
−
x
n
−
1
)
+
…
+
f
(
x
n
;
…
;
x
0
)
⋅
∏
k
=
1
n
(
x
−
x
k
)
=
=
f
(
x
n
)
+
(
x
−
x
n
)
⋅
(
f
(
x
n
;
x
n
−
1
)
+
(
x
−
x
n
−
1
)
⋅
(
f
(
x
n
;
x
n
−
1
;
x
n
−
2
)
+
…
+
(
x
−
x
1
)
⋅
f
(
x
n
;
…
;
x
0
)
…
)
)
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}L_{n}(x)&=&f(x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1})\cdot (x-x_{n})+f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})\cdot (x-x_{n})\cdot (x-x_{n-1})+\ldots +f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\cdot \prod _{k=1}^{n}(x-x_{k})=\\&=&f(x_{n})+(x-x_{n})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1})+(x-x_{n-1})\cdot \left(f(x_{n};\;x_{n-1};\;x_{n-2})+\ldots +(x-x_{1})\cdot f(x_{n};\;\ldots ;\;x_{0})\ldots \right)\right).\end{array}}}
Преимущества:
для вычислений разделённых разностей требуется
(
n
+
2
)
(
n
+
1
)
/
2
=
O
(
n
2
)
{\displaystyle (n+2)(n+1)/2=O(n^{2})}
вычислять значения интерполяционного многочлена можно по схеме Горнера за
O
(
n
)
{\displaystyle O(n)}
хранения требуют
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
(
n
+
1
)
{\displaystyle (n+1)}
f
(
x
k
)
{\displaystyle f(x_{k})}
по сравнению с интерполяционным многочленом Лагранжа упрощено добавление нового узла. С использованием
{
ω
j
(
x
)
=
(
x
−
x
0
)
⋅
…
⋅
(
x
−
x
j
−
1
)
=
∏
k
=
0
j
−
1
(
x
−
x
k
)
=
ω
j
−
1
(
x
)
⋅
(
x
−
x
j
−
1
)
,
j
>
0
,
ω
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}\omega _{j}(x)&=&(x-x_{0})\cdot \ldots \cdot (x-x_{j-1})=\prod \limits _{k=0}^{j-1}(x-x_{k})=\omega _{j-1}(x)\cdot (x-x_{j-1}),\;j>0,\\\omega _{0}(x)&=&1\end{array}}\right.}
первую из формул можно записать в виде
L
n
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
f
(
x
0
;
…
;
x
j
)
⋅
ω
j
(
x
)
.
{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}f(x_{0};\;\ldots ;\;x_{j})\cdot \omega _{j}(x).}
С помощью многочлена Ньютона можно также получить следующее представление разделённых разностей в виде отношения определителей :
f
(
x
0
;
…
;
x
n
)
=
|
1
x
0
…
x
0
n
−
1
f
(
x
0
)
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
1
x
n
…
x
n
n
−
1
f
(
x
n
)
|
|
1
x
0
…
x
0
n
−
1
x
0
n
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
1
x
n
…
x
n
n
−
1
x
n
n
|
.
{\displaystyle f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&f(x_{0})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&f(x_{n})\end{array}}\right|}{\left|{\begin{array}{ccccc}1&x_{0}&\ldots &x_{0}^{n-1}&x_{0}^{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\1&x_{n}&\ldots &x_{n}^{n-1}&x_{n}^{n}\end{array}}\right|}}.}
Ньютон использовал в своей общей формуле интерполяции (см. выше) разделённые разности, но термин, по-видимому, был введён О. де Морганом в 1848 году[1]
Пример для функции
f
(
x
)
=
2
x
3
−
2
x
2
+
3
x
−
1
{\displaystyle f(x)=2x^{3}-2x^{2}+3x-1}
На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления разделённых разностей для
f
(
x
)
=
2
x
3
−
2
x
2
+
3
x
−
1
,
x
i
=
i
,
i
=
0
,
…
,
n
,
n
=
5.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(x)&=&2x^{3}-2x^{2}+3x-1,\\x_{i}&=&i,\;i=0,\ldots ,n,\\n&=&5.\end{array}}}
Бахвалов Н. С. , Жидков Н. П. , Кобельков Г. М. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. — 636 с., илл. — ISBN 5-94774-175-X .Корн Г. (Granino A. Korn, Ph.D.), Корн Т. (Theresa M. Korn, M.S.) Справочник по математике (для научных работников и инженеров) (англ. Mathematical handbook for scientist and engineers, 1968 ). — М. : Наука, 1973. — 832 с., илл.
