Конечные разности (Tkuycudy jg[ukvmn)
Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.
Определение
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/90/Finite_difference_method.svg/307px-Finite_difference_method.svg.png)
Пусть для некоторой точки задано узлов интерполяции с шагом и известны значения функции в этих узлах:
Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть[1]
Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть[1]
Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между -м и -м значениями в узлах интерполяции, то есть[1]
Разности высших порядков
[править | править код]Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между -ой и -ой конечными разностями 1-го порядка, то есть
Соответственно, восходящей конечной разностью порядка (для ) называют разность между -ой и -ой конечными разностями порядка , то есть[1]
Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков[1]:
Через операторы
[править | править код]Если ввести оператор смещения такой, что , то можно определить оператор восходящей конечной разности как . Для него справедливо соотношение
- ,
которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков[2].
Общие формулы
[править | править код]Часто также используется другое обозначение: — восходящая конечная разность порядка от функции c шагом , взятая в точке . Например, . Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение , а для центральных — .
В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов[3]:
Общая формула для используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.
Пример
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.png/220px-%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8.png)
На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для
В зелёных клетках расположены значения , в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.
Связь с производными
[править | править код]Производная функции в точке определяется с помощью предела:
Под знаком предела стоит восходящая конечная разность , делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора[4]:
Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:
Центральная разность даёт более точное приближение:
Конечные разности порядка , делённые на шаг, возведённый в степень , аппроксимируют производную порядка . Порядок погрешности приближения при этом не меняется[5]:
Связанные понятия
[править | править код]Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.
С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 3 4 5 Бахвалов и др., 2011, с. 65.
- ↑ Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 669—670.
- ↑ Бахвалов и др., 2011, с. 66.
- ↑ Бахвалов и др., 2011, с. 81.
- ↑ Бахвалов и др., 2011, с. 82.
Литература
[править | править код]- Бахвалов, Н. С., Жидков, Н. П., Кобельков, Г. М. Численные методы . — 7-е изд.. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. — ISBN 978-5-9963-0449-3.
- Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
См. также
[править | править код]- Коэффициенты формул численного дифференцирования
- Линейная рекуррентная последовательность — решение наиболее простого типа разностного уравнения
- Метод конечных разностей
- Интерполяционные формулы Ньютона
- Разделенная разность
- Биномиальные преобразования