Равноугольный многоугольник (Jgfukrikl,udw bukikrikl,unt)

Перейти к навигации Перейти к поиску
Равноугольный четырёхугольник

В евклидовой геометрии равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Единственным равноугольным треугольником является правильный треугольник. Только прямоугольники, включая квадрат, являются равноугольными четырёхугольниками[1].

В равноугольном n-угольнике каждый угол равен . Это теорема о равноугольных многоугольниках.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани[2]:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник (равноугольный четырёхугольник) с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые, но не все, равноугольные двенадцатиугольники можно разложить на комбинацию единичных квадратов и равносторонних треугольников. Остальные можно разложить на эти два вида фигур с дополнительными ромбами с углами 30 ° и 150 °[1].

Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ... равны и стороны 2, 4, ... тоже равны). Таким образом, если n нечётно, циклический многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда он правильный[3].

Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный pk-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию[4].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Derek Ball. Equiangular polygons // The Mathematical Gazette. — 2002. — Т. 86, вып. 507. — С. 396—407. — JSTOR 3621131.
  2. Elias Abboud "On Viviani’s Theorem and its Extensions" Архивная копия от 25 февраля 2018 на Wayback Machine pp. 2, 11
  3. De Villiers, Michael. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — March 2011. — Т. 95. — С. 102—107.
  4. McLean, K. Robin. A powerful algebraic tool for equiangular polygons // Mathematical Gazette. — November 2004. — Т. 88. — С. 513—514.

Литература

[править | править код]
  • Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.