Проблема якобиана (HjkQlybg xtkQngug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных :

Предположим, что для любого набора система уравнений

имеет единственное решение и существуют такие многочлены

,

что каждое . Предполагается, что многочлены не зависят от набора свободных членов . Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из однозначно представляется в виде многочлена от (и от ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение , при котором

.

Отображение является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение , переводящее в

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения ) размера , в которой на месте стоит частная производная . Зададим другое полиномиальное отображение и рассмотрим их композицию , матрица Якоби которой равна

.

Вычисляя определители, получаем, что

.

В частности, если заданы полиномиальные отображения и , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица , тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

является ненулевой константой.

Формулировка

[править | править код]

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение вида (2), причем является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из в виде многочлена от ?

Результаты

[править | править код]

До 2022 года проблема была решена для случая, когда и степени не выше 150, а также если любое, но степени всех многочленов не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое является многочленом степени не выше 3[1].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Кострикин, «Введение в алгебру», т.1, стр. 259—260

Литература

[править | править код]
  1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;