Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.
Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных
:
![{\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b5d14e0db5ca750af2dd30aea7f3a24626e9a5b)
Предположим, что для любого набора
система уравнений
![{\displaystyle f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34cab92f15116221bd5bbf2bad28025c01247630)
имеет единственное решение
и существуют такие многочлены
,
что каждое
. Предполагается, что многочлены
не зависят от набора свободных членов
. Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из
однозначно представляется в виде многочлена от
(и от
). Система (1) задаёт полиномиальное отображение
, при котором
.
Отображение
является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение
, переводящее
в
![{\displaystyle f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f420c7b9a6716c7022d9ce3eb5a526f145502f1)
также является полиномиальным.
Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения
)
размера
, в которой на месте
стоит частная производная
. Зададим другое полиномиальное отображение
и рассмотрим их композицию
, матрица Якоби которой равна
.
Вычисляя определители, получаем, что
.
В частности, если заданы полиномиальные отображения
и
, то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица
, тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,
![{\displaystyle \det(J(f))({\overline {X}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d94b75b636f9a0cc219a81c9244c4a7a4017c0)
является ненулевой константой.
Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение
вида (2), причем
является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из
в виде многочлена от
?
До 2022 года проблема была решена для случая, когда
и степени
не выше 150, а также если
любое, но степени всех многочленов
не выше 2.[1] Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое
является многочленом степени не выше 3[1].
- ↑ 1 2 Кострикин, «Введение в алгебру», т.1, стр. 259—260
- В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;