Представление Бурау (Hjy;vmgflyuny >rjgr)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Представление Бураулинейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком Вернером Бурау[нем.].

Определение

[править | править код]

Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау) называется гомоморфизм

из группы кос из нитей в полную линейную группу кольца многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной , заданный на образующих Артина равенством[1][2]

где символ обозначает единичную матрицу размера , рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы . Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица

Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау.

Интерпретации

[править | править код]

Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой свяжем элемент , задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства . Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе , выберем диаграмму косы и следующим образом сопоставим элементы кольца дугам этой диаграммы. Сначала для каждого отметим на дуге, содержащей -ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент . Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы и , где — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент , если перекрёсток является положительным, и элемент , если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор , где — метка дуги, содержащей -ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда

,

где отражение кос.

Специализации

[править | править код]

Отдельный интерес представляют специализации

представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы.

Перестановочное представление

[править | править код]

Результат подстановки в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки, соответствующей этой косе. Таким образом, специализация представления Бурау при совпадает с композицией

гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и линейного перестановочного представления[англ.] симметрической группы.

Целочисленное представление Бурау

[править | править код]

Специализация представления Бурау при имеет вид

и называется целочисленным представлением Бурау. Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от англ. braid Torelli group) и обозначается символом .

Для композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю задаёт представление

.

Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня (от англ. level congruence subgroup) или группой кос уровня (от англ. level braid group) и обозначается символом .

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Мантуров, В. О. Экскурс в теорию кос // Математическое просвещение. — М.: МЦНМО, 2010. — Т. 3, вып. 14. — С. 107–142. — ISBN 978-5-94057-597-9.
  • Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.