Последняя теорема Пуанкаре (Hkvly;uxx mykjybg Hrgutgjy)

Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.

Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре^[1]; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф^[2] спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом^[3].

Формулировка

Пусть $K$ — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами $r=a$ и $r=b$ . Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:

r'=\varphi (r,\theta );\theta '=\psi (r,\theta )

,

удовлетворяющее следующим условиям:

отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
каждая граничная окружность переходит в себя: $\varphi (a,\theta )=a$ , $\varphi (b,\theta )=b$ ;
точки с $r=a$ передвигаются против часовой стрелки, а точки с $r=b$ — по часовой стрелке. Более точно, функция $\psi$ непрерывна и $\psi (a,\theta )>\theta$ и $\psi (b,\theta )<\theta$ при любом $\theta$ .

Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.

Вариации и обобщения

Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.

Примечания

↑ Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407
↑ Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22
↑ M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. Архивировано 3 марта 2016 года. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31. (англ.)

Литература

Пуанкаре теорема последняя — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.

Ссылки

Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.

[1] Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407

[2] Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22

[3] M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. Архивировано 3 марта 2016 года. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31. (англ.)

[1]

[2]

[3]