Полярное разложение (Hklxjuky jg[lk'yuny)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Полярное разложение — представление квадратной матрицы в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц . Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде .

  • Любую квадратную матрицу над (над ) можно представить в виде , где  — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица,  — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица невырождена, то такое представление единственно[1].
  • Любую матрицу можно представить в виде , где и  — унитарные матрицы,  — диагональная матрица[1].
  • Если  — полярные разложения невырожденной матрицы , то [1].

Существование

[править | править код]

Докажем, что любую квадратную матрицу над можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.

Так как , то матрица симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через , состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы , расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как , то для любых векторов и базиса выполняется . Значит, образ базиса относительно преобразования ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования векторы базиса преобразуются в векторы .

Сингулярные числа матрицы  — квадратные корни из собственных значений матрицы .

Отсюда очевидно, что . Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число , что .

Пусть  — система векторов при , дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть  — матрица перехода из базиса в базис . Так как оба базиса ортонормированные, то матрица ортогональная. Так как , то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы . Это значит, что матрица в базисе имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, , где матрица ортогональная, а матрица симметричная.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.