Полярное разложение (Hklxjuky jg[lk'yuny)
Полярное разложение — представление квадратной матрицы в виде произведения эрмитовой и унитарной матриц . Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде .
Свойства
[править | править код]- Любую квадратную матрицу над (над ) можно представить в виде , где — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица, — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица невырождена, то такое представление единственно[1].
- Любую матрицу можно представить в виде , где и — унитарные матрицы, — диагональная матрица[1].
- Если — полярные разложения невырожденной матрицы , то [1].
Существование
[править | править код]Докажем, что любую квадратную матрицу над можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.
Так как , то матрица симметричная. Существует[2] базис, который можно обозначить через , состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы , расположенных в порядке убывания собственных значений.
Так как , то для любых векторов и базиса выполняется . Значит, образ базиса относительно преобразования ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования векторы базиса преобразуются в векторы .
Сингулярные числа матрицы — квадратные корни из собственных значений матрицы .
Отсюда очевидно, что . Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число , что .
Пусть — система векторов при , дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть — матрица перехода из базиса в базис . Так как оба базиса ортонормированные, то матрица ортогональная. Так как , то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы . Это значит, что матрица в базисе имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.
Итак, , где матрица ортогональная, а матрица симметричная.
Примечания
[править | править код]Литература
[править | править код]- Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.