Полюс и поляра (HklZv n hklxjg)

Для термина «Полюс» см. также другие значения.

Для термина «Поляра» см. также другие значения.

Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M₁ и M₂ пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.

Поляра является прямой линией. Точку P называют полюсом поляры. Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости и множества её прямых — поляритет или полярное преобразование.

Свойства

Построение поляры точки P относительно окружности в виде хорды NN'

• Если точка P лежит «вне» линии 2-го порядка (то есть через точку P можно провести две касательные к линии), то поляра проходит через 2 точки касания данной линии 2-го порядка с прямыми, проведёнными через точку P. Например, на рис. справа показано построение поляры точки P относительно красной окружности в виде синей хорды NN'. Показана 1 зеленая касательная PN к ней.
• Если точка P лежит на кривой 2-го порядка, то поляра является прямой, касательной к данной кривой в этой точке.
• Поляра точки P проходит через её инверсию относительно соответствующей кривой. Более того, если поляра пересекает эту кривую в двух точках, то инверсия является серединой хорды с концами в этих точках. Например, на рис. справа P' есть инверсия точки P относительно красной окружности.
• Поляры всех точек, лежащих на прямой, проходящих через центр соответствующей кривой, параллельны между собой. В случае параболы центр считается бесконечно удалённым, прямая должна быть параллельна её оси.
• Если поляра точки P проходит через точку Q, то поляра точки Q проходит через точку Р.

Трилинейные поляры треугольника

Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки.

• Ортоцентрическая ось — трилинейная поляра ортоцентра
• Трилинейной полярой центра вписанной окружности служит ось внешних биссектрис.
• Трилинейные поляры точек, лежащих на описанной конике, пересекаются в одной точке (для описанной окружности это — точка Лемуана, для описанного эллипса Штейнера — центроид).
• Чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.

История

Термин «поляра» ввёл Жергонн.

Вариации и обобщения

Аналогично определяется поляра (полярная плоскость) некоторой точки относительно невырожденной поверхности 2-го порядка.

Понятие поляры относительно линии второго порядка обобщается на линии n-го порядка. При этом заданной точке плоскости ставится в соответствие n-1 поляр относительно линии n-го порядка. Первая из этих поляр является линией порядка n-1, вторая, являющаяся полярой заданной точки относительно первой поляры, имеет порядок n-2 и т. д. и, наконец, (n-1)-я поляра является прямой линией.

• Трилинейную поляру точки Y , изогонально сопряжённой с точкой X, называют центральной линией точки X.
• Понятие центральной линии точки X ввёл Кларк Кимберлинг в своих статьях.

См. также

• Трилинейные поляры треугольника
• Центральная линия (геометрия)

Литература

• Харалампиев С. Ц. Полюс и поляра относительно окружности // Квант. — 1986. — № 7. — С. 32-34.
• Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978;
• Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973