Поверхность Хопфа (Hkfyj]ukvm, }khsg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Поверхность Хопфа — это компактная комплексная поверхность, получаемая как фактор комплексного векторного пространства (с удалённым нулём) C2 \ 0 по свободно действующей конечной группе. Если эта группа является группой целых чисел, поверхность Хопфа называется примарной, в противном случае — вторичной. (Некоторые авторы используют термин «поверхность Хопфа», неявно подразумевая «примарную поверхность Хопфа».) Первый пример такой поверхности нашёл Хопф[1] с дискретной группой, изоморфной группе целых чисел и генератором, действующим на C2 путём умножения на 2. Это был первый пример компактной комплексной поверхности без кэлеровой метрики.

Аналоги поверхностей Хопфа более высоких размерностей называются многообразиями Хопфа[англ.].

Инварианты

[править | править код]

Поверхности Хопфа являются поверхностями класса VII[англ.] и, в частности, все имеют размерность Кодайры[англ.] ; и все их плюрироды равны нулю. Геометрический род равен 0. Фундаментальная группа имеет нормальную центральную бесконечную циклическую подгруппу с конечным индексом. Ромб Ходжа поверхности равен

1
01
000
10
1

В частности, первое число Бетти равно 1, а второе число Бетти равно 0. В обратную сторону Кодайра[2] показал, что компактная комплексная поверхность с нулевым вторым числом Бетти, фундаментальная группа которой содержит бесконечную циклическую подгруппу с конечным индексом, является поверхностью Хопфа.

Примарные поверхности Хопфа

[править | править код]

В процессе классификации компактных комплексных поверхностей Кодайра классифицировал примарные поверхности Хопфа.

Примарная поверхность Хопфа получается как:

где — группа, генерируемая полиномиальным стягиванием .

Кодайра нашёл нормальную форму для . В подходящих координатах можно записать как:

где:

— комплексные числа, удовлетворяющие условию ;
и либо , либо .

Эти поверхности содержат эллиптическую кривую (образ оси x) и, если , то образ оси y является второй эллиптической кривой. В случае, когда , поверхность Хопфа является эллиптическим расслоённым пространством над проективной прямой, если = для некоторых положительных целых и , с отображением в проективную прямую, задаваемое выражением , а в противном случае кривыми являются только два образа осей.

Группа Пикара[англ.] любой примарной поверхности Хопфа изоморфна ненулевым комплексным числам C*.

Кодайра[3] доказал, что комплексная поверхность диффеоморфна тогда и только тогда, кода она является примарной поверхностью Хопфа.

Вторичные поверхности Хопфа

[править | править код]

Любая вторичная поверхность Хопфа имеет конечную накрывающую поверхность без ветвления, которая является примарной поверхностью Хопфа. Это эквивалентно тому, что её фундаментальная группа имеет подгруппу с конечным индексом в её центре, которая изоморфна группе целых чисел. Като[4] классифицировал эти поверхности путём нахождения конечных групп, действующих без фиксированных точек на примарных поверхностях Хопфа.

Многие примеры вторичных поверхностей Хопфа можно построить на основе произведения сферических пространственных форм[англ.] и окружности.

Примечания

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  • Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
  • Heinz Hopf. Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten // Studies and Essays Presented to R. Courant on his 60th Birthday, January 8, 1948. — Interscience Publishers, Inc., New York, 1948. — С. 167–185.
  • Masahide Kato. Topology of Hopf surfaces // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1975. — Т. 27, вып. 2. — С. 222–238. — ISSN 0025-5645. — doi:10.2969/jmsj/02720222. Архивировано 19 декабря 2012 года.
  • Masahide Kato. Erratum to: "Topology of Hopf surfaces" // Journal of the Mathematical Society of Japan. — 1989. — Т. 41, вып. 1. — С. 173–174. — ISSN 0025-5645. — doi:10.2969/jmsj/04110173. Архивировано 19 декабря 2012 года.
  • Kunihiko Kodaira. On the structure of compact complex analytic surfaces. II // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1966. — Т. 88, вып. 3. — С. 682–721. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2373150. — JSTOR 2373150.
  • Kunihiko Kodaira. On the structure of compact complex analytic surfaces. III // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1968. — Т. 90, вып. 1. — С. 55–83. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2373426. — JSTOR 2373426.
  • Kunihiko Kodaira. Complex structures on  // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. — 1966b. — Т. 55, вып. 2. — С. 240–243. — ISSN 0027-8424. — doi:10.1073/pnas.55.2.240.
  • Takao Matumoto, Noriaki Nakagawa. Explicit description of Hopf surfaces and their automorphism groups // Osaka Journal of Mathematics. — 2000. — Т. 37, вып. 2. — С. 417–424. — ISSN 0030-6126.
  • Ornea L. Hopf manifold // Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers,, 1994. — ISBN 978-1-55608-010-4.