Пара Вифериха (Hgjg Fnsyjn]g)

Пара Вифериха — пара простых чисел $p$ и $q$ , для которых выполнено:

p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}}

,

q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

.

Наименование дано в честь германского математика Артура Вифериха (нем. Arthur Wieferich). Играют важную роль в доказательстве Преды Михэйлеску (рум. Preda Mihăilescu)^[1] гипотезы Каталана^[2] (2002).

Известно только семь пар Вифериха^[3]^[4]:

(2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917), и (2903, 18787)

Простое число Вифериха $p\equiv 1{\pmod {4}}$ образует пару Вифериха $(p,2)$ .

Примечания

↑ Preda Mihăilescu. Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture (англ.) // Crelle's Journal : journal. — 2004. — Vol. 572. — P. 167—195.
↑ Jeanine Daems A Cyclotomic Proof of Catalan’s Conjecture Архивировано 21 февраля 2006 года..
↑ Weisstein, Eric W. Double Wieferich Prime Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
↑ A124121, A124122 и A126432 в OEIS

Yuri Bilu. Catalan's conjecture (after Mihăilescu) (неопр.) // Astérisque. — 2004. — Т. 294. — С. vii, 1—26.
R. Ernvall; T. Metsänkylä. On the p-divisibility of Fermat quotients (неопр.) // Math. Comp.^[англ.]. — 1997. — Т. 66, № 219. — С. 1353—1365. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00843-0.
Ray Steiner. Class number bounds and Catalan's equation (англ.) // Math. Comp.^[англ.] : journal. — 1998. — Vol. 67, no. 213. — P. 1317—1322. — doi:10.1090/S0025-5718-98-00966-1.