Параметр Грюнайзена (Hgjgbymj IjZugw[yug)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Параметр Грюнайзена — безразмерный параметр, который описывает влияние изменения объёма кристаллической решётки на его вибрационные свойства и, как следствие, влияние изменения температуры на размер или динамику решётки. Параметр обычно обозначаемый γ назван в честь Эдуарда Грюнайзена. Под этим термином понимают одно термодинамическое свойство, которое является средневзвешенным средним значением многих отдельных параметров γi, входящих в первоначальную формулировку модели Грюнайзена в терминах фононных нелинейностей[1].

Термодинамические определения

[править | править код]

Из-за эквивалентности между многими свойствами и производными в термодинамике (например, соотношения Максвелла), существует множество формулировок параметра Грюнайзена, которые одинаково верны, что приводит к многочисленным различным, но эквивалентным интерпретациям его значения.

Некоторые формулировки для параметра Грюнайзена включают:

,

где V — объём, и  — удельные теплоёмкости при постоянных давлении и объёме, E — энергия, S — энтропия, α — объёмный коэффициент термического расширения, и  — адиабатические и изотермические сжимаемости,  — скорость звука в среде и ρ — плотность.

Выражение для коэффициента теплового расширения через удельную теплоёмкость и сжимаемость через параметр Грюнайзена также называют законом Грюнайзена[2].

Параметр Грюнайзена для совершенных кристаллов с парным взаимодействиями

[править | править код]

Выражение для параметра Грюнайзена для идеального кристалла с парным взаимодействием в d-мерном пространстве записывается как[3]:

,

где  — межатомный потенциал, - равновесная постоянная решётки. Соотношение между параметром Грюнайзена и потенциалами Леннард-Джонса, Морзе, и потенциалом Ми приведены в таблице.

Решётка Размерность Потенциал Леннард-Джонса Потенциал Ми Потенциал Морзе
Цепь
Треугольная решетка
FCC, BCC
«Гиперрешётки»
Общая формула

Выражение для параметра Грюнайзена одномерной цепи с потенциалом Ми точно совпадает с результатами Макдональда и Роя. Используя связь между параметром Грюнайзена и межатомным потенциалом, можно вывести простое необходимое и достаточное условие отрицательного теплового расширения в совершенных кристаллах с парными взаимодействиями

.

Детальное описание параметра Грюнайзена задаёт строгий тест на тип межатомного потенциала[4].

Микроскопическое определение через фононные частоты

[править | править код]

Физический смысл этого параметра также можно расширить путем объединения термодинамики с разумной микроскопической моделью для вибрирующих атомов в кристалле. Когда восстанавливающая сила, действующая на атом, смещенный из его положения равновесия, линейна по смещению атома, частоты ω i отдельных фононов не зависят от объёма кристалла или наличия других фононов, а также от теплового расширения (и таким образом, γ) равно нулю. Когда восстанавливающая сила зависит нелинейно от смещения, частоты фононов ωi изменяются с объёмом . Параметр Грюнайзена отдельной колебательной моды с индексом определён как (отрицательная) логарифмическая производная соответствующей частоты  :

Связь между микроскопической и термодинамической моделями

[править | править код]

Используя квазигармоническое приближение для атомных колебаний, макроскопический параметр Грюнайзена (γ) можно связать с описанием того, как частоты колебаний атомов (фононы) внутри кристалла изменяются с меняющимся объёмом (то есть γ i). Например, можно показать, что

если определить как взвешенное среднее

где  — вклады индивидуальных фононных мод в теплоёмкость таких что полная теплоёмкость равна

Доказательство

[править | править код]

Для доказательства нужно ввести теплоёмкость на одну частицу ; Тогда

.

Таким образом, достаточно доказать

.

Левая сторона:

Правая сторона:

Кроме того (соотношения Максвелла):

Эту производную легко определить в квазигармоническом приближении, так как только ωi являются V-зависимыми.

Это дает

Примечания

[править | править код]
  1. Grüneisen, E., Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente, Архивировано из оригинала 2 сентября 2019, Дата обращения: 12 сентября 2019
  2. А. Э. Мейерович. Грюнайзена закон // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
  3. Krivtsov, A.M.; Kuzkin, V.A. (2011), "Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure", Mechanics of Solids, 46 (3): 387—399, doi:10.3103/S002565441103006X
  4. L. J.; Porter. The importance of Gruneisen parameters in developing interatomic potentials (англ.) // J. Appl. Phys. : journal. — 1997. — Vol. 82, no. 11. — doi:10.1063/1.366305.