Обратные гиперболические функции (KQjgmudy inhyjQklncyvtny srutenn)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т. д. Также применяют[1] названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т. д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции Обозначение в русской литературе Обозначение в английской литературе
ареасинус arsh arsinh, sinh−1
ареакосинус arch arcosh, cosh−1
ареатангенс arth artanh, tanh−1
ареакотангенс arcth arcoth, coth−1
ареасеканс arsch, arsech arsech, sech−1
ареакосеканс arcsch arcsch, csch−1

Определения функций

[править | править код]
Ареасинус для действительного аргумента
Ареакосинус для действительного аргумента
Ареатангенс для действительного аргумента
Ареакотангенс для действительного аргумента
Ареасеканс для действительного аргумента
Ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

  • ареасинус
  • ареакосинус
  • ареатангенс
  • ареакотангенс
  • ареасеканс
  • ареакосеканс

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть если представить комплексное число z как при ), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд

[править | править код]

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

Производные

[править | править код]
Функция Производная Примечание

Для действительных x:

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций

[править | править код]

Дополнительные формулы

[править | править код]
  1. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. — Наука, 1963. — С. 594. — 873 с.
  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.