Область главных идеалов (KQlgvm, ilgfud] n;yglkf)
Область главных идеалов — это область целостности, в которой любой идеал является главным. Более общее понятие — кольцо главных идеалов, от которого не требуется целостности (однако некоторые авторы, например Бурбаки, ссылаются на кольцо главных идеалов как на целостное кольцо).
Элементы кольца главных идеалов в некотором смысле похожи на числа: для любого элемента существует единственное разложение на простые, для любых двух элементов существует наибольший общий делитель.
Области главных идеалов можно указать на следующей цепочке включений:
- Коммутативные кольца Области целостности Факториальные кольца Области главных идеалов Евклидовы кольца Поля
Кроме того, все области главных идеалов являются нётеровыми и дедекиндовыми кольцами.
Примеры
[править | править код]- Кольцо целых чисел
- Кольцо многочленов над полем , а также кольцо формальных степенных рядов
- — кольцо гауссовых целых чисел
- Кольцо целых чисел Эйзенштейна
![{\displaystyle k-k[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b4b1f442204a872968c33d42744e9e8b42e52b3)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
Примеры целостных колец, не являющихся кольцами главных идеалов:
- — кольцо многочленов с целыми коэффициентами (идеал нельзя породить одним многочленом)
- Кольцо многочленов от двух переменных (идеал не является главным)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle k[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8462ca2b7942a5b5d38beed97662788b27b568a)
Модули
[править | править код]Основной результат здесь — следующая теорема: если — область главных идеалов и — конечнопорожденный модуль над , то разлагается в прямую сумму циклических модулей, то есть модулей, порожденных одним элементом. Поскольку существует сюръективный гомоморфизм из в циклический модуль над ним (отправляющий единицу в генератор), по теореме о гомоморфизме любой циклический модуль имеет вид для некоторого .
В частности, любой подмодуль свободного модуля над областью главных идеалов свободен. Это неверно для произвольных колец, в качестве контрпримера можно привести вложение -модулей
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
![{\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/168df8d839dbdf711dfe855575d1d0574b32a174)
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Зарисский О., Самуэль П. Коммутативная алгебра тт.1-2. — М: ИЛ, 1963
- Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1