Евклидово кольцо (Yftln;kfk tkl,ek)

Евклидово кольцо — общеалгебраическое кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.

Определение

Евклидово кольцо — область целостности $R$, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) $d\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} _{0}$, такая, что возможно деление с остатком по норме меньшим делителя, то есть для любых $a,b\in R,\,b\neq 0$ имеется представление $a=bq+r$, для которого $d(r)<d(b)$ или $r=0$.

Дополнительное ограничение

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: $d(a)\leqslant d(ab)$ для любых ненулевых $a$ и $b$ из кольца $R$. Если на $R$ задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

$d'(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}d(ax)$.

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком требует поправки (для $x\in R$ и $d'(b)=d(bx)$ делится $ax$ на $bx$ с остатком: $ax=bxq'+r'x$, где $r'=a-bq'$ и $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$, а так как из определения следует $d'(r')\leqslant d(r'x)$, получается искомое представление $a=bq'+r'$ с $d'(r')<d'(b)$).

Преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента $a$ имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры

• Кольцо целых чисел $\mathbb {Z}$. Пример евклидовой функции — абсолютная величина $|\cdot |$.
• Кольцо целых гауссовых чисел $\mathbb {Z} [i]$ (где $i$ — мнимая единица, $i^{2}=-1$) с нормой $d(a+ib)=a^{2}+b^{2}$ — евклидово.
• Произвольное поле $K$ является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
• Кольцо многочленов в одной переменной $K[x]$ над полем $K$. Пример евклидовой функции — степень deg.
• Кольцо формальных степенных рядов $K[[x]]$ над полем $K$ является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём.
  • Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент.
• Кольцо функций $H(K)$, голоморфных на связном компакте $K$ в $\mathbb {C}$ (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в $H(K)$, если они совпадают в некоторой окрестности $K$), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на $K$.
• Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций $H(\mathbb {D} )$, голоморфных в открытом круге $\mathbb {D}$, является пересечением евклидовых колец функций $H(K)$, голоморфных на замкнутых кругах $K$, содержащихся внутри $\mathbb {D}$, однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
• Кольцо частных $S^{-1}R$ евклидова кольца $R$ по мультипликативной системе $S$ тоже является евклидовым. Нормой дроби $x$ из $S^{-1}R$ принимается:

$d_{S}(x)=\min\{d_{R}(u):\,(u,s)\in R\times S,\,x=u/s\},$

где $d_{R}$ — евклидова норма в $R$, а $d_{S}$ — норма в $S^{-1}R$.

Деление с остатком определяется следующим образом: пусть есть две ненулевые дроби $x=r/t$ и $y$ из S⁻¹R. По определению нормы в $S^{-1}R$ существует элементы $u$ в $R$ и $s$ в $S$, такие, что $y=u/s$ и $d_{S}(y)=d_{R}(u)$. Произведя деление с остатком в кольце $R$ элементов $rs$ и $u$ — $rs=uq+r$, так что $d_{R}(r')<d_{R}(u)$, получается $r/t=(u/s)(q/t)+r'/ts$; из построения следуют неравенства $d_{S}(r'/ts)\leqslant d_{R}(r')<d_{R}(u)=d_{S}(y)$.

• Евклидовым является кольцо конечных десятичных дробей, так как оно является кольцом частных кольца целых чисел $\mathbb {Z}$.
• Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем $\mathbb {C}$ с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов $\mathbb {C} [x]$.

Алгоритм Евклида

В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента $a_{0}$ и $a_{1}$, причём $d(a_{1})\leqslant d(a_{0})$ и $a_{1}\neq 0$. Деление с остатком даёт элемент $a_{2}=a_{0}-a_{1}q_{1}$ с $d(a_{2})<d(a_{1})$. Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент $a_{3}=a_{1}-a_{2}q_{2}$, и так далее. Таким образом генерируется цепочка значений $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ с $d(a_{0})>d(a_{1})>d(a_{2})>\dots$. Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое натуральное число может строго превосходить лишь конечное количество других натуральных чисел. Это означает, что при некотором $n$ остаток $a_{n+1}$ равен нулю, а $a_{n}$ не равен, он и есть наибольший общий делитель элементов $a_{0}$ и $a_{1}$. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.

Свойства евклидовых колец

• В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
  • Пусть $I$ — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь $0$, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент $f$ с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: представив произвольный элемент $g\in I$ в виде $g=fq+r$ с $d(r)<d(f)$ получается, что $r$ — тоже элемент идеала $I$ и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у $f$. Следовательно, идеал $I$ содержится в идеале $(f)$. С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент $f$, содержит идеал $(f)$, откуда следует, что $I=(f)$ — главный идеал.
• Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность — общее свойство всех колец главных идеалов.
• Каждое евклидово кольцо $R$ целозамкнуто, то есть если дробь $a/b,\,a,b\in R$, является корнем многочлена $f\in R[x]$ со старшим коэффициентом, равным 1, тогда $a$ делится на $b$. Целозамкнутость — общее свойство всех факториальных колец.

Свойства модулей над евклидовым кольцом

Пусть $R$ — евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые $R$-модули обладают следующими свойствами:

• Всякий подмодуль $N$ конечнопорождённого $R$-модуля $M$ конечно порождён (следствие нётеровости кольца $R$).
• Ранг подмодуля $N$ не превосходит ранга модуля $M$ (следствие главности идеалов в $R$ — структурная теорема для конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов).
• Подмодуль свободного $R$-модуля также свободен.
• Гомоморфизм $A\colon N\to M$ конечнопорождённых $R$-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n}$ модуля N, образующие (базис) $v_{1},v_{2},\dots ,v_{m}$ модуля M, номер $k\leqslant \min\{m,n\}$ и $a_{1},\dots ,a_{k}$ — элементы кольца $R$, такие, что $a_{i}$ делит $a_{i+1}$ и при i > k $Au_{i}=0$, а при остальных — $Au_{i}=a_{i}v_{i}$. При этом коэффициенты $a_{1},\dots ,a_{k}$ определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца $R$. (В этом свойстве прямо задействована евклидовость кольца $R$.)

См. также

• Евклидово поле
• Область целостности

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Евклидово кольцо (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Б. Л. ван дер Варден. Алгебра. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9.
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Физматлит, 1962. — 400 с.
• Родосский К. А. Алгоритм Евклида. — М.: Наука, 1988. — 239 с.
• J. von zur Gathen, J. Gerhard. Modern Computer Algebra. — Cambridge University Press, 1999. — 771 p. — ISBN 0-521-82646-2.