Неравенство Брунна — Минковского (Uyjgfyuvmfk >jruug — Bnutkfvtkik)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

[править | править код]

Пусть и  — компактные выпуклые тела в n-мерном евклидовом пространстве. Рассмотрим сумму Минковского , , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств и в отношении к . Тогда функция

есть вогнутая функция от .

Более того, функция линейна в том и только в том случае, когда и гомотетичны.

  • Неравенство легко выводится из своего частного случая
для любых компактных выпуклых тел и — в n-мерном пространстве.

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским[1], обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником[2].

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера. Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман.[3] В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим. Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

[править | править код]

Литература

[править | править код]
  1. Minkowski, Hermann. Geometrie der Zahlen (неопр.). — Leipzig: Teubner, 1896.
  2. Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (нем.) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : magazin. — 1935. — Bd. III. — S. 55—58.
  3. H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8