Можно ли услышать форму барабана? (Bk'uk ln rvldogm, skjbr QgjgQgugq)
«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса, восходящий к Герману Вейлю.
Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?
Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца, опубликованной в 1966 году[1]. Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен премии Форда[англ.] в 1967 году и премии Шовенэ[англ.] в 1968 году[2].
Формулировка
[править | править код]Барабан мыслится как плоская область , граница которой фиксирована. Обозначим через её n-ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения , для которых существует функция такая, что
Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.
Поэтому вопрос можно переформулировать так:
- Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?
Вариации
[править | править код]Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов, таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака. Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана.
Ответы
[править | править код]Плоские торы
[править | править код]Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.
Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».
Области на плоскости
[править | править код]В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).
Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.
Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».
Частные случаи
[править | править код]Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.
- Согласно формуле Вейля, площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
- По теореме Иврия тоже верно и для периметров областей с гладкой границей.[4]
- Если область выпукла, а её граница аналитическая, то спектр позволяет однозначно установить её форму.[источник не указан 828 дней]
- Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
- Известно, что множество изоспектральных областей компактно в -топологии.
- По теореме сравнения Чжэна[англ.] сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.
Примечания
[править | править код]- ↑ Kac, Mark. Can One Hear the Shape of a Drum? (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1966. — April (vol. 73, no. 4, part 2). — P. 1—23. — doi:10.2307/2313748. — . Архивировано 2 марта 2021 года.
- ↑ Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America . Дата обращения: 15 мая 2016. Архивировано 6 мая 2021 года.
- ↑ Buser, Peter; Conway, John; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Some planar isospectral domains", International Mathematics Research Notices, 9: 391ff
- ↑ В. Я. Иврий. О втором члене спектральной асимптотики для оператора Лапласа — Бельтрами на многообразиях с краем // Функц. анализ и его прил. — 1980. — Т. 14, № 2. — С. 25—34.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |
Литература
[править | править код]- Конвей Дж. Квадратичные формы, данные нам в ощущениях. — М.: МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8.
Ссылки
[править | править код]- Титаренко С. А. Клеточность как необходимое условие спектральной задачи для лапласиана «услышать форму барабана». — Дифференциальные уравнения и математическое моделирование, 2022. — 103-107 с.
- Титаренко С. А. Можно услышать форму почти любого барабана! — Preprints of the St. Petersburg Mathematical Society, 2020. — 11 с.
- Some planar isospectral domains by Peter Buser, John Horton Conway, Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
- Weisstein, Eric W. Isospectral Manifolds (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Benguria, Rafael D. (2001), "Dirichlet eigenvalue", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4