Модель LMM (Bk;yl, LMM)

Модель рынка либор (LMM, LIBOR Market Model) или Модель BGM (Brace-Gatarek-Musiela Model - модель Брейса-Гатарека-Мусиелы), а также иногда логнормальная модель форвардных ставок (LFM, LFRM) - в финансовой математике это модель динамики совокупности форвардных ставок в единой мере, используемая при оценке процентных производных инструментов, особенно экзотических производных инструментов.

Наличие в названии "рынка либор" связано с тем, что в на практике ее можно было применять к существовавшему длительное время рынку процентных ставок LIBOR. Альтернативное наименование LFM конкретизирует логнормальный характер моделирования каждой форвардной ставки в собственной форвардной мере по аналогии с моделью Блэка. Собственно, оценка стоимости таких инструментов как кэпы и флоры в рамках такой модели эквивалентно оценке по формуле Блэка. Кроме того такое наименование модели в некотором смысле противопоставляется аналогичной модели для своп-ставок - LSM или LSRM (lognormal swap-rates model), так как, строго говоря логнормальность форвардных ставок и своп-ставок математически несовместимы (поэтому, одновременное использование формулы Блэка и для кэпов/флоров и для свопционов вообще говоря теоретически не совсем корректно).

На практике требуется применение численных методов для использования модели, в том числе методов симуляции (Монте-Карло).

Математическое представление модели

В модели LMM динамика форвардных ставок в некоторой $T_{p}$ -форвардной мере определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:

$dF_{j}(t)={\begin{cases}F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)-F_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau F_{k}(t)}{1+\tau F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j<p\\F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)&j=p\\F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)+F_{j}(t)\sum \limits _{k=p+1}^{j}{\frac {\tau F_{k}(t)}{1+\tau F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt&j>p\\\end{cases}}$

где:

$F_{j}(t)$ - форвардная ставка на j-й временной интервал, а $\sigma _{j}$ - ее локальная логнормальная волатильность

$W_{j}^{Q^{T_{p}}}$ - винеровский процесс в $T_{p}$ -форвардной мере для j-й форвардной ставки

$\rho _{jk}$ - локальная корреляция винеровских процессов $W_{j}^{Q^{T_{p}}}$ и $W_{k}^{Q^{T_{p}}}$ , то есть $dW_{j}^{Q^{T_{p}}}dW_{k}^{Q^{T_{p}}}=\rho _{jk}dt$

В частности, если выбрана терминальная форвардная мера, то для всех форвардных ставок выполняется первое уравнение

Вывод формул

Форвардные ставки являются мартингалами в собственной форвардной мере, поэтому в этой мере описываются уравнением без дрифта

$dF_{j}(t)=F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{j}}}(t)$

Процесс плотности замены меры на ${Q^{T_{p}}}$ пропорционален $P(t,T_{j})/P(t,T_{p})$ , поэтому для логарифма процесса плотности имеем:

$\ln z=\ln {\frac {P(t,T_{j})}{P(t,T_{p})}}=\sum _{k=j+1}^{p}\ln {\frac {P(t,T_{k-1})}{P(t,T_{k})}}=\sum _{k=j+1}^{p}\ln(1+F_{k}\tau _{k})$

Тогда для трендовой составляющей имеем

$d\ln F_{j}d\ln z=-d\ln F_{j}\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}dF_{k}}{1+F_{k}\tau _{k}}}=-{\sigma }_{j}dW_{j}^{Q^{T_{j}}}\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}F_{k}{\sigma }_{k}dW_{k}^{Q^{T_{k}}}}{1+F_{k}\tau _{k}}}=-\sum _{k=j+1}^{p}{\frac {\tau _{k}F_{k}{\sigma }_{k}{\sigma }_{j}\rho _{kj}}{1+F_{i}\tau _{i}}}dt$

поэтому процесс форвардной ставки в новой мере будет иметь вид

$dF_{j}(t)=F_{j}(t){\sigma }_{j}(t)dW_{j}^{Q^{T_{p}}}(t)-F_{j}(t)\sum \limits _{k=j+1}^{p}{\frac {\delta F_{k}(t)}{1+\delta F_{k}(t)}}{\sigma }_{j}(t){\sigma }_{k}(t){\rho }_{jk}dt$

См. также