Модель LMM (Bk;yl, LMM)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Модель рынка либор (LMM, LIBOR Market Model) или Модель BGM (Brace-Gatarek-Musiela Model - модель Брейса-Гатарека-Мусиелы), а также иногда логнормальная модель форвардных ставок (LFM, LFRM) - в финансовой математике это модель динамики совокупности форвардных ставок в единой мере, используемая при оценке процентных производных инструментов, особенно экзотических производных инструментов.

Наличие в названии "рынка либор" связано с тем, что в на практике ее можно было применять к существовавшему длительное время рынку процентных ставок LIBOR. Альтернативное наименование LFM конкретизирует логнормальный характер моделирования каждой форвардной ставки в собственной форвардной мере по аналогии с моделью Блэка. Собственно, оценка стоимости таких инструментов как кэпы и флоры в рамках такой модели эквивалентно оценке по формуле Блэка. Кроме того такое наименование модели в некотором смысле противопоставляется аналогичной модели для своп-ставок - LSM или LSRM (lognormal swap-rates model), так как, строго говоря логнормальность форвардных ставок и своп-ставок математически несовместимы (поэтому, одновременное использование формулы Блэка и для кэпов/флоров и для свопционов вообще говоря теоретически не совсем корректно).

На практике требуется применение численных методов для использования модели, в том числе методов симуляции (Монте-Карло).

Математическое представление модели

[править | править код]

В модели LMM динамика форвардных ставок в некоторой -форвардной мере определяется следующими стохастическими дифференциальными уравнениями:

где:

- форвардная ставка на j-й временной интервал, а - ее локальная логнормальная волатильность

- винеровский процесс в -форвардной мере для j-й форвардной ставки

- локальная корреляция винеровских процессов и , то есть

В частности, если выбрана терминальная форвардная мера, то для всех форвардных ставок выполняется первое уравнение

Вывод формул

[править | править код]

Форвардные ставки являются мартингалами в собственной форвардной мере, поэтому в этой мере описываются уравнением без дрифта

Процесс плотности замены меры на пропорционален , поэтому для логарифма процесса плотности имеем:

Тогда для трендовой составляющей имеем

поэтому процесс форвардной ставки в новой мере будет иметь вид