Метрика Леви — Прохорова (Bymjntg Lyfn — Hjk]kjkfg)

Перейти к навигации Перейти к поиску

Метрика Леви — Прохорова (метрика Прохорова) — метрика на пространстве конечных вероятностных мер; введена в 1956 году Юрием Прохоровым в качестве обобщения метрики Леви[англ.] (определённой Полем Леви в 1937 году).

Определяется на пространстве всех конечных вероятностных мер на измеримом пространстве , где  — метрическое пространство, а  — борелевская сигма-алгебра на нём. Для подмножества определяется эпсилон-окрестность как:

,

где  — открытый шар радиусом с центром в . Метрика определяется установлением расстояния между двумя вероятностными мерами и как:

.

Очевидно, что для вероятностных мер .

Если пространство является сепарабельным, то схождение мер в метрике Леви — Прохорова эквивалентно слабой сходимости мер. Таким образом,  — это метризация топологии слабой сходимости вероятности на .

Метрическое пространство является сепарабельным тогда и только тогда когда сепарабельно.

Если пространство является полным, то также является полным пространством. Если у всех мер в есть сепарабельный носитель меры, то обратное утверждение также верно: если  — полное, то  — полное. В частности, это тот случай, когда является сепарабельным.

Если сепарабельное и полное, подмножество является относительно компактным пространством тогда и только тогда, когда -замыкание является -компактным.

Если сепарабельное, то , где  — метрика Ци Фаня[1][2].

Примечания

[править | править код]
  1. Dudley, 1989, p. 322
  2. Račev, 1991, p. 159

Литература

[править | править код]
  • Леви — Прохорова метрика — статья из Математической энциклопедии. В. М. Золотарёв
  • Patrick Billingsley. Convergence of Probability Measures. — N. Y.: John Wiley & Sons, 1999. — ISBN 0-471-19745-9.
  • R. M. Dudley. Real analysis and probability. — Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. — ISBN 0-534-10050-3.
  • Svetlozar T. Račev. Probability metrics and the stability of stochastic models. — Chichester: Wiley, 1991. — ISBN 0-471-92877-1.