Метод бесконечного спуска (Bymk; Qyvtkuycukik vhrvtg)

Метод бесконечного спуска — метод доказательства от противного, основанный на том, что множество натуральных чисел вполне упорядочено. Существенно развит Пьером Ферма.

Часто используется для доказательства того, что у некоторого уравнения нет решений по следующей схеме: из предположения, что решение существует, доказывается существование другого решения, которое в некотором смысле меньше, тогда можно построить бесконечную цепочку решений, каждое из которых меньше предыдущего, это вызывает противоречие с тем, что в любом непустом подмножестве натуральных чисел есть минимальный элемент, значит предположение о существовании начального решения неверно.

Пример

Для доказательства иррациональности ${\sqrt {2}}$ с использованием метода бесконечного спуска оно предполагается рациональным числом:

${\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}$

для некоторых натуральных чисел $p$ и $q$. Тогда квадрат этого числа равен:

$2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}$,

то есть $2q^{2}=p^{2}$. Это означает, что $p$ — чётное число. Для $p=2r$: $p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}$, при подстановке $4r^{2}$ вместо $p^{2}$: $2q^{2}=4r^{2}$. Деление на 2 обеих частей даёт: $q^{2}=2r^{2}$, значит, $q$ — также чётное число. Таким образом, исходные числа $p$ и $q$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление ${\sqrt {2}}$. С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. То есть, ${\sqrt {2}}$ не является рациональным числом.

Ссылки

• Л. Курляндчик, Г. Розенблюм. Метод бесконечного спуска // Квант. — 1978. — № 1. — С. 24—27.