Метод Гаусса (определение орбиты) (Bymk; Igrvvg (khjy;ylyuny kjQnmd))

Для термина «Метод Гаусса» см. также другие значения.

Ме́тод Га́усса в небесной механике и астродинамике используется для первоначального определения параметров орбиты небесного тела по трём наблюдениям.

На практике для увеличения точности используется больше наблюдений, но в теории достаточно трёх. Кроме небесных координат объекта, необходимыми сведениями являются моменты наблюдений и земные координаты пунктов наблюдения.

История

В 1801 году была открыта Церера, но в течение некоторого времени её наблюдения были затруднены из-за близости к Солнцу, после чего было трудно снова найти её на небе. Карл Фридрих Гаусс поставил себе задачу определения её орбиты по имевшимся наблюдениям, за счёт чего и приобрёл мировую известность. Однако описанный ниже метод годится только для определения орбит с фокусом в теле, с которого ведутся наблюдения, так что задача Гаусса была сложнее.

Вектор положения наблюдателя

Геоцентрическая (θ) и геодезическая (ϕ) широта

Вектор положения наблюдателя (в экваториальной системе координат) можно вычислить, зная широту места наблюдения и местное звёздное время:

$\mathbf {R_{n}} =\left[{R_{e} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\cos \phi _{n}(\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} )+\left[{R_{e}(1-f)^{2} \over {\sqrt {1-(2f-f^{2})\sin ^{2}\phi _{n}}}}+H_{n}\right]\sin \phi _{n}\ \mathbf {\hat {K}}$

или:

$\mathbf {R_{n}} =R_{e}\cos \phi '_{n}\cos \theta _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +R_{e}\cos \phi '_{n}\sin \theta _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +R_{e}\sin \phi '_{n}\ \mathbf {\hat {K}} ,$

где:

• $\mathbf {R_{n}}$ — вектор положения наблюдателя;
• $R_{e}$ — экваториальный радиус тела, на котором находится наблюдатель;
• $f$ — сплюснутость тела у полюсов (например, для Земли — 0.003353);
• $\phi _{n}$ — геодезическая широта;
• $\phi '_{n}$ — геоцентрическая широта;
• $H_{n}$ — высота;
• $\theta _{n}$ — местное звёздное время.

Вектор направления на объект

Вектор направления на объект может быть вычислен с помощью склонения и прямого восхождения:

$\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}} =\cos \delta _{n}\cos \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {I}} +\cos \delta _{n}\sin \alpha _{n}\ \mathbf {\hat {J}} +\sin \delta _{n}\ \mathbf {\hat {K}}$,

где:

• $\mathbf {{\hat {\rho }}_{n}}$ — единичный вектор направления на объект;
• $\delta _{n}$ — склонение;
• $\alpha _{n}$ — прямое восхождение.

Определение орбиты

Далее нужно получить вектор расстояния до объекта, а не только единичный вектор направления на него.

Шаг 1

Вычисляются интервалы между наблюдениями:

$\tau _{1}=t_{1}-t_{2}$

$\tau _{3}=t_{3}-t_{2}$

$\tau =t_{3}-t_{1},$

где $t_{n}$ — моменты наблюдений.

Шаг 2

Вычисляются векторные произведения:

$\mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$

$\mathbf {p_{2}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$

$\mathbf {p_{3}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$

Шаг 3

Вычисляются смешанные произведения:

$D_{0}=\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} =\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}} \cdot (\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}} \times \mathbf {{\hat {\rho }}_{3}} )$

$D_{11}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{12}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{13}=\mathbf {R_{1}} \cdot \mathbf {p_{3}}$

$D_{21}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{22}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{23}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {p_{3}}$

$D_{31}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{1}} \qquad D_{32}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{2}} \qquad D_{33}=\mathbf {R_{3}} \cdot \mathbf {p_{3}}$

Шаг 4

Вычисляются позиционные коэффициенты:

$A={\frac {1}{D_{0}}}\left(-D_{12}{\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{22}+D_{32}{\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right)$

$B={\frac {1}{6D_{0}}}\left[D_{12}\left(\tau _{3}^{2}-\tau ^{2}\right){\frac {\tau _{3}}{\tau }}+D_{32}\left(\tau ^{2}-\tau _{1}^{2}\right){\frac {\tau _{1}}{\tau }}\right]$

$E=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$

Шаг 5

Вычисляется модуль вектора положения наблюдателя в момент второго наблюдения:

${R_{2}}^{2}=\mathbf {R_{2}} \cdot \mathbf {R_{2}}$

Шаг 6

Вычисляются коэффициенты полинома для поиска расстояния:

$a=-\left(A^{2}+2AE+{R_{2}}^{2}\right)$

$b=-2\mu B(A+E)$

$c=-\mu ^{2}B^{2},$

где $\mu$ — гравитационный параметр тела, вокруг которого происходит вращение.

Шаг 7

Ищутся решения уравнения:

${r_{2}}^{8}+a{r_{2}}^{6}+b{r_{2}}^{3}+c=0,$

где $r_{2}$ — расстояние до объекта в момент второго наблюдения.

У кубического уравнения может быть до трёх действительных корней. В случае, если их больше одного, необходимо проверить каждый из них.

Шаг 8

Вычисляются расстояния от точек наблюдения до объекта в каждый из моментов наблюдений:

$\rho _{1}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{31}{\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}+D_{21}{\dfrac {\tau }{\tau _{3}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{31}\left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{1}}{\tau _{3}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right)}}-D_{11}\right]$

$\rho _{2}=A+{\frac {\mu B}{{r_{2}}^{3}}}$

$\rho _{3}={\frac {1}{D_{0}}}\left[{\frac {6\left(D_{13}{\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}-D_{23}{\dfrac {\tau }{\tau _{1}}}\right){r_{2}}^{3}+\mu D_{13}\left(\tau ^{2}-{\tau _{3}}^{2}\right){\dfrac {\tau _{3}}{\tau _{1}}}}{6{r_{2}}^{3}+\mu \left(\tau ^{2}-{\tau _{1}}^{2}\right)}}-D_{33}\right]$

Шаг 9

Вычисляются позиционные вектора объекта (в экваториальной системе координат):

$\mathbf {r_{1}} =\mathbf {R_{1}} +\rho _{1}\mathbf {{\hat {\rho }}_{1}}$

$\mathbf {r_{2}} =\mathbf {R_{2}} +\rho _{2}\mathbf {{\hat {\rho }}_{2}}$

$\mathbf {r_{3}} =\mathbf {R_{3}} +\rho _{3}\mathbf {{\hat {\rho }}_{3}}$

Шаг 10

Вычисляются коэффициенты Лагранжа. Из-за этого пункта определение орбит становится неточным:

$f_{1}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{2}$

$f_{3}\approx 1-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{2}$

$g_{1}\approx \tau _{1}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{1}}^{3}$

$g_{3}\approx \tau _{3}-{\frac {1}{6}}{\frac {\mu }{{r_{2}}^{3}}}{\tau _{3}}^{3}$

Шаг 11

Вычисляется вектор скорости объекта в момент второго наблюдения (в экваториальной системе координат):

$\mathbf {v_{2}} ={\frac {1}{f_{1}g_{3}-f_{3}g_{1}}}\left(-f_{3}\mathbf {r_{1}} +f_{1}\mathbf {r_{3}} \right)$

Шаг 12

Теперь известно положение и скорость объекта в один момент времени. Значит, возможно определить параметры орбиты.

Литература

• Der, Gim J.. «New Angles-only Algorithms for Initial Orbit Determination.» Advanced Maui Optical and Space Surveillance Technologies Conference. (2012). Print (англ.)