Матрица Лемера (Bgmjneg Lybyjg)

Матрица Лемера — симметричная матрица $L^{n}$, определяемая для каждого $n>1$ как:

$L_{ij}^{n}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}$.

Названа в честь Деррика Лемера.

Каждая из матриц Лемера $L^{n}$ является подматрицей $L^{n+m}$ (то есть $L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n}$ для всех $i,j\leqslant n$). Значения элементов уменьшаются по мере удаления от главной диагонали; поскольку все элементы главной диагонали равны 1, то след $L^{n}$ равен $n$.

Обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Подматрица размерности $n\times n$ обратной к матрице Лемера $L^{n+m}$ совпадает с обратной к матрице $L^{n}$ за исключением элемента с индексом $(n,n)$.

Матрицы Лемера размеров 2×2, 3×3 и 4×4 и обратные к ним:

${\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}}\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}}\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {BrickRed}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}\\\end{array}}$

Ссылки

• M. Newman and J. Todd, The evaluation of matrix inversion programs, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, pages 466—476.