Лемма Шуры-Буры (Lybbg Orjd->rjd)

Лемма Шуры-Буры — принятое в научной школе П. С. Александрова название для следующего элементарного утверждения общей топологии, касающегося свойств компактных пространств:

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$, а $\{F_{s}\}_{s\in S}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства. Если $\bigcap _{s\in S}F_{s}\subset U$, то существует конечное множество $\{s_{1},s_{2},\dots s_{n}\}\subset S$, такое, что $\bigcap _{i=1}^{n}F_{s_{i}}\subset U$.

Более краткая формулировка леммы Шуры-Буры (в терминах неиндексированных семейств множеств):

Пусть $U$ — открытое подмножество компактного пространства $X$, а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство замкнутых (и, следовательно, компактных) подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$. Тогда $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}$.

Для доказательства леммы Шуры-Буры достаточно заметить, что семейство, состоящее из указанных в её формулировке множества $U$ и из дополнений элементов семейства ${\mathcal {F}}$, является открытым покрытием пространства $X$ и извлечь из этого покрытия конечное подпокрытие.

Свойство, указанное в лемме Шуры-Буры, на самом деле характеризует компактные пространства.

Обобщения леммы Шуры-Буры

Лемму Шуры-Буры можно обобщить на произвольные (не обязательно компактные) пространства, потребовав, чтобы рассматриваемое в ней семейство замкнутых множеств содержало хотя бы одно компактное:

Пусть $U$ — открытое подмножество пространства $X$, а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство замкнутых подмножеств этого пространства, хотя бы одно из которых компактно, причём $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$. Тогда $\bigcap {\mathcal {F}}_{0}\subset U$ для некоторого конечного подсемейства ${\mathcal {F}}_{0}\subset {\mathcal {F}}$.

В предположении хаусдорфовости лемма Шуры-Буры допускает следующее существенное усиление:

Пусть $U$ — открытое подмножество хаусдорфова пространства $X$, а ${\mathcal {F}}$ — некоторое семейство компактных подмножеств этого пространства, такое, что $\bigcap {\mathcal {F}}\subset U$. Тогда найдутся конечное семейство $\{\,F_{1},F_{2},\dots ,F_{n}\,\}\subset {\mathcal {F}}$ и конечное семейство $\{\,V_{1},V_{2},\dots ,V_{n}\,\}$ открытых в $X$ множеств, обладающие следующими свойствами:
а) $F_{i}\subset V_{i}$ для $i=1,2,\dots ,n$;
б) $\bigcap _{i=1}^{n}V_{i}\subset U$.

Лемма Шуры-Буры и компоненты связности компакта

Лемма Шуры-Буры закрепилась как отдельное утверждение с данным названием в монографиях П. С. Александрова, где оно использовалось в качестве вспомогательного для доказательства следующей фундаментальной теоремы, принадлежащей М. Р. Шуре-Буре (1941):

Компонента связности каждой точки хаусдорфова компактного пространства совпадает с её квазикомпонентой.

Некоторые авторы называют эту последнюю теорему также «леммой Шуры-Буры». Для случая метрических компактов она была ранее доказана Ф. Хаусдорфом (1914).