Лемма Витали о покрытиях (Lybbg Fnmgln k hktjdmnx])
Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.
Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.
Формулировка
[править | править код]Конечная версия
[править | править код]Пусть — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве Rd (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется
где обозначает шар с тем же центром, что и у , но с утроенным радиусом.
Бесконечная версия
[править | править код]Пусть — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в Rd (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что
где обозначает радиус шара Bj. Тогда для любого существует счётное подмножество
попарно непересекающихся шаров, таких что
Замечания
[править | править код]- В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
- В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.
Следствия
[править | править код]- В любом конечном наборе шаров -мерного евклидова пространства с объёмом объединения , можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее .
- Коэффициент не является оптимальным и оптимальное значение не известно.[1]
Вариации и обобщения
[править | править код]- Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.[2]
- Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы и произвольного шара имеем
Примечания
[править | править код]- ↑ The optimal constant in Vitali covering lemma
- ↑ Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.
Литература
[править | править код]- Vitali, Giuseppe (1908) [17 December 1907], "Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali", Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (итал.), 43: 75—92, JFM 39.0101.05.
- И. П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. — 1974.