Лемма Витали о покрытиях (Lybbg Fnmgln k hktjdmnx])

Перейти к навигации Перейти к поиску
Сверху изначальное семейство шаров. Зелёным выделены непересекающиеся шары, синим — все остальные. Ниже та же диаграмма, в которой зелёные шары утроены — заметим, что они покрывают все голубые шары.

Лемма Витали о покрытиях — комбинаторногеометрический результат. Широко используется в теории меры.

Эта лемма используется в доказательстве теоремы Витали о покрытиях, но также представляет самостоятельный интерес. Названа в честь итальянского математика Джузеппе Витали.

Формулировка

[править | править код]

Конечная версия

[править | править код]

Пусть  — конечный набор шаров, содержащихся в d-мерном евклидовом пространстве Rd (или, в более общем случае, в произвольном метрическом пространстве). Тогда существует подмножество из этих шаров, в котором шары попарно не пересекаются, и выполняется

где обозначает шар с тем же центром, что и у , но с утроенным радиусом.

Бесконечная версия

[править | править код]

Пусть  — произвольный (счётный или несчётный) набор шаров в Rd (или, более общо, в метрическом пространстве), такой что

где обозначает радиус шара Bj. Тогда для любого существует счётное подмножество

попарно непересекающихся шаров, таких что

  • В бесконечной версии лемма перестаёт быть верной, если радиусы не ограничены: например, это неверно для бесконечного набора концентрических шаров с целыми положительными радиусами.
  • В самом общем случае, для произвольного метрического пространства, выбор максимальной непересекающейся подколлекции шаров требует некоторой формы леммы Цорна.
  • В любом конечном наборе шаров -мерного евклидова пространства с объёмом объединения , можно выбрать поднабор пересекающихся между собой шаров с общим объёмом не менее .
    • Коэффициент не является оптимальным и оптимальное значение не известно.[1]

Вариации и обобщения

[править | править код]
  • Вместо шаров можно брать другие области с довольно слабыми условиями.[2]
  • Лемма Безиковича — аналог леммы Витали. Она применима для произвольных мер, но только для простых метрических пространств включая евклидово пространство в то время как Лемма Витали применима на произвольных метрических пространствах для мер обладающих свойством удвоения. Последнее означает, что для некоторой вещественной константы и произвольного шара имеем

Примечания

[править | править код]
  1. The optimal constant in Vitali covering lemma
  2. Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.

Литература

[править | править код]