Коуравнитель (Tkrjgfunmyl,)

Коуравнитель — теоретико-категорное обобщение понятия фактора по отношению эквивалентности. Это понятие двойственно к понятию уравнителя, отсюда и название.

Определение

Коуравнитель — это копредел диаграммы, состоящей из двух объектов — X и Y, и двух параллельных морфизмов f, g : X → Y.

Более явно, коуравнитель — это объект Q вместе с морфизмом q : Y → Q, таким что q ∘ f = q ∘ g. Более того, пара (Q, q) обладает универсальным свойством: для любой другой пары (Q′, q′) с тем же свойством существует единственный морфизм u : Q → Q′, замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Как и любые универсальные конструкции, коуравнитель, если существует, определен с точностью до изоморфизма. Можно показать, что коуравнитель q является эпиморфизмом в любой категории.

Примеры

• В категории множеств коуравнитель двух функций f, g : X → Y — это фактор Y по наиболее слабому отношению эквивалентности $\sim$, такому что для любого $x\in X$, верно $f(x)\sim g(x)$.
• В категории групп ситуация очень похожа: если f, g : X → Y — гомоморфизмы групп, их коуравнитель — это фактор Y по нормальному замыканию множества:

  $S=\{f(x)g(x)^{-1}\ |\ x\in X\}$.

• Для абелевых групп коуравнитель особенно прост. Это просто факторгруппа Y / im(f − g) (коядро морфизма f −g).
• В категории топологических пространств окружность $S^{1}$ можно рассматривать как коуравнитель двух вложений стандартного 0-мерного симплекса в стандартный 1-мерный симплекс.
• Коуравнители могут быть довольно большими: существует ровно два функтора из категории 1 с одним объектом и одним морфизмом, в категорию 2 с двумя объектами и ровно одним нетождественным морфизмом. Коуравнитель этих функторов — моноид натуральных чисел по сложению, рассматриваемый как категория из одного элемента. Это показывает, что хотя каждый коуравнитель эпиморфен, он не обязательно сюръективен.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.